解析几何 - 圆
点与圆的位置关系
🎯 三种可能的位置
点与圆之间可能有三种位置关系:
⭐ 原理 - 距离比较
给定圆心为 M 半径为 r 的圆。设点 P 到圆心 M 的距离为 d。
\(d < r\)
圆内
\(d = r\)
圆上
\(d > r\)
圆外
🔍 判定方法 - 代入方程
快速方法:不必计算距离,直接把点代入圆的方程!
对于圆 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) 和点 \(P(x_0, y_0)\):
计算:\(S = (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2\)
\(S < r^2\)
在圆内
\(S = r^2\)
在圆上
\(S > r^2\)
在圆外
✏️ 例子
已知圆: \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25\)
圆心:(2, -1),半径:5
例 1:判定点 A(5, 3) 的位置
\(S = (5 - 2)^2 + (3 - (-1))^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(S = 25 = r^2\)
✓ 点 A 在圆上
例 2:判定点 B(3, 0) 的位置
\(S = (3 - 2)^2 + (0 - (-1))^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2\)
\(S = 2 < 25 = r^2\)
✓ 点 B 在圆内
例 3:判定点 C(8, -1) 的位置
\(S = (8 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2 = 6^2 + 0^2 = 36\)
\(S = 36 > 25 = r^2\)
✓ 点 C 在圆外
📏 替代方法 - 距离计算
例:点 P(7, 3) 相对于圆 \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25\) 在圆内、圆上还是圆外?
步骤 1:找出圆心和半径:
圆心 M(2, -1),半径 r = 5
步骤 2:计算 P 到圆心的距离:
\(d = \sqrt{(7-2)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.4\)
步骤 3:比较:
\(d = \sqrt{41} \approx 6.4 > 5 = r\)
答案:点 P 在圆外
✓ 验证点是否在圆上
问题:点 (6, 2) 是否在圆 \(x^2 + y^2 = 40\) 上?
解:将 x = 6,y = 2 代入方程:
\(6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40\) ✓
是的!因为等号成立,所以点在圆上
📋 总结表
| 点的位置 | 条件(距离) | 条件(代入) |
|---|---|---|
| 圆内 | \(d < r\) | \(S < r^2\) |
| 圆上 | \(d = r\) | \(S = r^2\) |
| 圆外 | \(d > r\) | \(S > r^2\) |
💡 提示:代入法更快,因为不需要计算开根号!
📝 总结
将点 \((x_0, y_0)\) 代入方程 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\):
\(S < r^2\) → 在圆内 | \(S = r^2\) → 在圆上 | \(S > r^2\) → 在圆外