解析几何 - 圆
圆与坐标轴的交点
🎯 原理
为了求与坐标轴的交点,代入相应的值:
与 x 轴的交点
在 x 轴上始终 \(y = 0\)
代入 y = 0 求解方程
与 y 轴的交点
在 y 轴上始终 \(x = 0\)
代入 x = 0 求解方程
📊 图形说明
📍 与 x 轴的交点(代入 y = 0)
例:求圆 \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\) 与 x 轴的交点。
步骤 1:代入 y = 0:
\((x - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 25\)
\((x - 3)^2 + 4 = 25\)
步骤 2:求解:
\((x - 3)^2 = 21\)
\(x - 3 = \pm\sqrt{21}\)
\(x = 3 \pm \sqrt{21}\)
答案:交点为: \((3 + \sqrt{21}, 0)\) 和 \((3 - \sqrt{21}, 0)\)
📍 与 y 轴的交点(代入 x = 0)
例:求圆 \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\) 与 y 轴的交点。
步骤 1:代入 x = 0:
\((0 - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\)
\(9 + (y - 2)^2 = 25\)
步骤 2:求解:
\((y - 2)^2 = 16\)
\(y - 2 = \pm 4\)
\(y = 6\) 或 \(y = -2\)
答案:交点为 (0, 6) 和 (0, -2)
🔢 可能有几个交点?
💡 如何提前判断?
当得到二次方程时,检查判别式:
- \(\Delta > 0\) → 两个解(2 个交点)
- \(\Delta = 0\) → 一个解(圆与坐标轴相切)
- \(\Delta < 0\) → 没有解(没有交点)
✏️ 例子 - 不与 x 轴相交的圆
问题:求 \((x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 9\) 与 x 轴的交点。
代入 y = 0:
\((x - 1)^2 + (0 - 5)^2 = 9\)
\((x - 1)^2 + 25 = 9\)
\((x - 1)^2 = -16\)
无解!平方不能是负数。
结论:该圆不与 x 轴相交。
(圆心 (1, 5) 到 x 轴的距离大于半径 3)
✏️ 完整例子 - 求所有交点
问题:求圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 与坐标轴的所有交点。
与 x 轴的交点:代入 y = 0
\(x^2 + 0 = 25\) → \(x = \pm 5\)
点: (5, 0) 和 (-5, 0)
与 y 轴的交点:代入 x = 0
\(0 + y^2 = 25\) → \(y = \pm 5\)
点: (0, 5) 和 (0, -5)
共"计 4 个交点: (5, 0), (-5, 0), (0, 5), (0, -5)
📝 总结
与 x 轴的交点:代入 y = 0 求解
与 y 轴的交点:代入 x = 0 求解
可能有 0、1 或 2 个交点与每个坐标轴