解析几何 - 圆
直线与圆的交点
🎯 三种可能的位置关系
⭐ 方法 - 代入法
步骤 1:从直线方程中分离 y(或 x)
步骤 2:代入圆的方程
步骤 3:求解一元二次方程
步骤 4:代回求另一个坐标
💡 判别式决定情况:
\(\Delta > 0\)
2 个交点
\(\Delta = 0\)
1 个交点
\(\Delta < 0\)
0 个交点
✏️ 例 1 - 直线与圆相交(2 个交点)
问题:求 \(y = x + 1\) 与 \(x^2 + y^2 = 25\) 的交点。
步骤 1:将 \(y = x + 1\) 代入圆方程:
\(x^2 + (x + 1)^2 = 25\)
步骤 2:展开并化简:
\(x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25\)
\(2x^2 + 2x - 24 = 0\)
\(x^2 + x - 12 = 0\)
步骤 3:求解:\((x + 4)(x - 3) = 0\)
\(x = -4\) 或 \(x = 3\)
步骤 4:求 y:
x = -4:y = -4 + 1 = -3
x = 3:y = 3 + 1 = 4
答案:(-4, -3) 与 (3, 4)
✏️ 例 2 - 直线与圆相切(1 个交点)
问题:求 \(y = x + 5\) 与 \(x^2 + y^2 = 12.5\) 的交点。
代入:
\(x^2 + (x + 5)^2 = 12.5\)
\(x^2 + x^2 + 10x + 25 = 12.5\)
\(2x^2 + 10x + 12.5 = 0\)
判别式:\(\Delta = 100 - 4 \cdot 2 \cdot 12.5 = 100 - 100 = 0\)
\(x = \frac{-10}{4} = -2.5\)
\(y = -2.5 + 5 = 2.5\)
答案:切点为 (-2.5, 2.5)
直线与圆相切!
✏️ 例 3 - 直线与圆相离(无交点)
问题:求 \(y = x + 10\) 与 \(x^2 + y^2 = 25\) 的交点。
代入:
\(x^2 + (x + 10)^2 = 25\)
\(2x^2 + 20x + 100 = 25\)
\(2x^2 + 20x + 75 = 0\)
判别式:\(\Delta = 400 - 4 \cdot 2 \cdot 75 = 400 - 600 = -200\)
答案:无交点!
Δ < 0 → 直线与圆相离
📏 弦长计算
弦 = 连接圆上两点的线段
当直线与圆相交于 2 个点时,它们之间的线段就是弦!
✏️ 例:求 \(y = x + 1\) 与 \(x^2 + y^2 = 25\) 相交所得弦的长度。
前面已得:交点为 (-4, -3) 与 (3, 4)
弦长:
\(d = \sqrt{(3-(-4))^2 + (4-(-3))^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\)
弦长:\(7\sqrt{2}\)
📝 总结
求交点:将直线方程代入圆方程
Δ > 0 → 相交 | Δ = 0 → 相切 | Δ < 0 → 相离