解析几何 - 圆
圆的切线方程
🎯 什么是切线?
圆的切线是仅与圆相交于一点的直线。
重要性质:
切线在切点处垂直于半径!
⭐ 圆上一点的切线公式
对于圆 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)
圆上点 \(P(x_0, y_0)\) 处的切线方程:
\((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2\)
💡 特殊情形 - 圆心在原点:
对于 \(x^2 + y^2 = r^2\),点 \((x_0, y_0)\) 处的切线为:
\(x_0 \cdot x + y_0 \cdot y = r^2\)
✏️ 例 1 - 圆心在原点
问题:求圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 在点 (3, 4) 处的切线方程。
验证:(3, 4) 是否在圆上?
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) ✓
解:代入公式 \(x_0 \cdot x + y_0 \cdot y = r^2\):
\(3x + 4y = 25\)
切线方程:\(3x + 4y = 25\)
✏️ 例 2 - 圆心不在原点
问题:求圆 \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25\) 在点 (5, 7) 处的切线方程。
已知:圆心 (2, 3),半径 5,切点 (5, 7)
验证:\((5-2)^2 + (7-3)^2 = 9 + 16 = 25\) ✓
解:代入公式:
\((5 - 2)(x - 2) + (7 - 3)(y - 3) = 25\)
\(3(x - 2) + 4(y - 3) = 25\)
\(3x - 6 + 4y - 12 = 25\)
\(3x + 4y = 43\)
切线方程:\(3x + 4y = 43\)
🔄 替代方法 - 利用垂直性
思路:切线垂直于半径,所以求半径斜率后取负倒数!
✏️ 例:求圆 \(x^2 + y^2 = 25\) 在点 (3, 4) 处的切线
步骤 1:从 (0,0) 到 (3,4) 的半径斜率:
\(m_r = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}\)
步骤 2:切线斜率(垂直于半径):
\(m_t = -\frac{1}{m_r} = -\frac{3}{4}\)
步骤 3:切线方程(点斜式):
\(y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)\)
\(4y - 16 = -3x + 9\)
\(3x + 4y = 25\)
结果相同!\(3x + 4y = 25\)
📐 水平与垂直切线
对于圆 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\):
- 水平切线:\(y = b + r\) 与 \(y = b - r\)
- 垂直切线:\(x = a + r\) 与 \(x = a - r\)
📝 总结
切线公式:\((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2\)
圆心在原点:\(x_0 x + y_0 y = r^2\)
切线在切点处垂直于半径!