解析几何 - 圆
两圆的位置关系与相切
🎯 两圆之间可能的位置关系
⭐ 圆心距与半径的关系
设:\(d\) = 两圆心的距离,\(r_1, r_2\) = 两圆的半径
| 位置关系 | 条件 | 交点数 |
|---|---|---|
| 相交 | \(|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2\) | 2 |
| 外切 | \(d = r_1 + r_2\) | 1 |
| 内切 | \(d = |r_1 - r_2|\) | 1 |
| 外离 | \(d > r_1 + r_2\) | 0 |
| 内含 | \(d < |r_1 - r_2|\) | 0 |
✏️ 例 - 判定两圆的位置关系
问题:下面两圆的位置关系是什么:
\(x^2 + y^2 = 16\) 与 \((x - 5)^2 + y^2 = 9\)
步骤 1:识别圆心和半径:
圆 1:圆心 (0, 0),半径 \(r_1 = 4\)
圆 2:圆心 (5, 0),半径 \(r_2 = 3\)
步骤 2:计算圆心距:
\(d = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5\)
步骤 3:比较:
\(r_1 + r_2 = 4 + 3 = 7\)
\(|r_1 - r_2| = |4 - 3| = 1\)
满足:\(1 < 5 < 7\)
答案:两圆相交于两点
🔍 求两圆的交点
方法:两方程相减得到一条直线,再求直线与圆的交点!
✏️ 例:求下列两圆的交点:
\(x^2 + y^2 = 25\) ……(1)
\((x - 4)^2 + y^2 = 9\) ……(2)
步骤 1:展开方程 (2):
\(x^2 - 8x + 16 + y^2 = 9\)
\(x^2 + y^2 = 8x - 7\)
步骤 2:代入方程 (1):\(x^2 + y^2 = 25\)
\(25 = 8x - 7\)
\(8x = 32\)
\(x = 4\)
步骤 3:把 x = 4 代入圆 (1):
\(16 + y^2 = 25\)
\(y^2 = 9\)
\(y = \pm 3\)
答案:交点为 (4, 3) 与 (4, -3)
⭕ 相切圆 - 例子
例 1 - 外切:
圆 1:圆心 (0, 0),半径 3
圆 2:圆心 (7, 0),半径 4
d = 7, \(r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7\)
d = r₁ + r₂ → 外切
例 2 - 内切:
圆 1:圆心 (0, 0),半径 5
圆 2:圆心 (2, 0),半径 3
d = 2, \(|r_1 - r_2| = |5 - 3| = 2\)
d = |r₁ - r₂| → 内切
📝 总结
外切:\(d = r_1 + r_2\)
内切:\(d = |r_1 - r_2|\)
求交点:两方程相减!