解析几何 - 圆
过 3 点的圆与已知直径的圆
🎯 过 3 点的圆
事实:过不共线的 3 个点恰好存在唯一的圆!
⭐ 方法 - 方程组
步骤 1:写出一般式方程:\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)
步骤 2:将每个点代入,得到 3 个方程
步骤 3:解 3 个未知数 (D, E, F) 的方程组
步骤 4:配方求圆心和半径
✏️ 详细例子
问题:求过下列三点的圆方程:
A(1, 0)、B(0, 1)、C(2, 2)
步骤 1:代入 A(1, 0):
\(1 + 0 + D(1) + E(0) + F = 0\)
\(D + F = -1\) ……(1)
步骤 2:代入 B(0, 1):
\(0 + 1 + D(0) + E(1) + F = 0\)
\(E + F = -1\) ……(2)
步骤 3:代入 C(2, 2):
\(4 + 4 + D(2) + E(2) + F = 0\)
\(2D + 2E + F = -8\) ……(3)
步骤 4:解方程组:
由 (1) 和 (2):D = E
代入 (3):2D + 2D + F = -8 → 4D + F = -8
由 (1):F = -1 - D
代入:4D + (-1 - D) = -8 → 3D = -7 → D = -7/3
E = -7/3,F = -1 + 7/3 = 4/3
步骤 5:写出方程:
\(x^2 + y^2 - \frac{7}{3}x - \frac{7}{3}y + \frac{4}{3} = 0\)
圆心:\(\left(\frac{7}{6}, \frac{7}{6}\right)\),半径:\(\sqrt{\frac{49}{36} + \frac{49}{36} - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{25}{18}} = \frac{5}{3\sqrt{2}}\)
⭕ 已知直径的圆
已知直径的两个端点时,有一种快速的求圆方法!
当 A 和 B 是直径的端点时:
圆心:AB 的中点 = \(\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\)
半径:\(r = \frac{|AB|}{2}\) = 直径的一半
✏️ 例 - 已知直径的圆
问题:已知 A(1, 3) 和 B(5, 7) 为直径 AB 的端点,求圆方程。
步骤 1:求圆心(AB 的中点):
\(M = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (3, 5)\)
步骤 2:求半径:
直径长度:\(|AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
半径:\(r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)
\(r^2 = 8\)
圆方程:\((x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 8\)
💡 重要性质 - 直径所对的圆周角
定理:直径所对的圆周角恒等于 90°!
💡 应用:若有线段 AB 和点 C 满足 ∠ACB = 90°,则 C 在以 AB 为直径的圆上!
📝 总结
过 3 点:关于 D、E、F 的 3 元方程组
已知直径:圆心 = 中点,半径 = 直径的一半
直径所对的圆周角 = 90°