三个村庄想合建一座医院。

医院应该建在哪里,才能使它到三个村庄的距离都相等?

🏥 答案是:位于经过三个村庄的那个圆的圆心!

那如何找到这个点呢?这正是我们要学习垂直平分线的原因。

定义:线段的垂直平分线是这样一条直线:

1. 经过线段的中点(点 M)
2. 垂直于这条线段(形成 90° 角)

垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等

💡 用简单的话说:

如果 P 在 AB 的垂直平分线上,则:PA = PB

📝 证明:

已知:P 在 AB 的垂直平分线上,M 是 AB 的中点

求证:PA = PB

观察两个三角形 △PMA 与 △PMB:

• MA = MB(M 是中点 —— 已知)
• ∠PMA = ∠PMB = 90°(垂直 —— 已知)
• PM = PM(公共边)

因此:△PMA ≅ △PMB(SAS)

结论:PA = PB(全等三角形的对应边相等) ✓

到线段两端距离相等的点 —— 都在该线段的垂直平分线上

💡 用简单的话说:

如果 PA = PB,则 P 在 AB 的垂直平分线上

📝 证明:

已知:PA = PB,设 M = AB 的中点

求证:PM ⊥ AB

观察两个三角形 △PMA 与 △PMB:

• PA = PB(已知)
• MA = MB(中点的定义)
• PM = PM(公共边)

因此:△PMA ≅ △PMB(SSS)

结论:∠PMA = ∠PMB(对应角)

由于它们互为邻补角且和为 180°:∠PMA = ∠PMB = 90°

所以 PM ⊥ AB,即 P 在垂直平分线上 ✓

垂直平分线就是所有这样的点的集合 ——

它们到线段两端的距离都相等!

🌍 生活中的例子:

两个朋友住在一条街的两端,想约在一个到两家距离都相等的地方见面。

他们可以选择两家所在线段的垂直平分线上的任意一点见面!