以下三个定理都涉及圆中的线段乘积。

它们都源于三角形相似,但可以直接套用!

AP · PB = CP · PD

一条弦两段的乘积 = 另一条弦两段的乘积

📝 证明(思路):

连接 AC 与 BD

∠PAC = ∠PDB(同弧 BC 上的圆周角)

∠APC = ∠DPB(对顶角)

所以 △APC ~ △DPB(AA)

由相似比:AP/DP = CP/PB

所以:AP · PB = CP · PD ✓

✏️ 例子:

AP = 4,PB = 6,CP = 3。求 PD?

4 × 6 = 3 × PD

24 = 3 × PD

PD = 8

PA · PB = PC · PD

一条割线 × 其外部段 = 另一条割线 × 其外部段(各取自圆外点)

💡 注意:

PA = 较近段(从 P 到圆上第一个点)

PB = 整段长度(从 P 到圆上较远的点)

✏️ 例子:

PA = 4,AB = 5(于是 PB = 9),PC = 3。求 CD?

4 × 9 = 3 × PD

36 = 3 × PD → PD = 12

CD = PD - PC = 12 - 3 = 9

PA · PB = PT²

割线 × 其外部段 = 切线的平方

💡 这是定理 2 的特例:

当一条割线退化为切线时,两个交点重合!

PC = PD = PT

所以 PA · PB = PC · PD = PT · PT = PT²

✏️ 例子:

PA = 4,PB = 9。求切线 PT 的长度?

PT² = 4 × 9 = 36

PT = 6

📷 相机镜头:

这些原理用于镜头和反光镜的设计 —— 计算光线的聚焦点。

🎯 台球:

圆形台球桌(没错,真的有!)的击球规则就基于类似的几何原理。