过任意三个不共线的点

有且仅有一个圆

💡 为什么要"不共线"?

如果三个点在同一条直线上 —— 就无法画出经过它们的圆!

圆是"弯"的,而直线则……是直的 😊

答案是:三条垂直平分线的交点!

为什么会这样?

• 圆心必须到 3 个顶点的距离都相等
• 到 A 和 B 距离相等的点 → 在 AB 的垂直平分线上
• 到 B 和 C 距离相等的点 → 在 BC 的垂直平分线上
• 两条垂直平分线的交点 → 到三个顶点的距离都相等!

在任何三角形中,三条垂直平分线相交于一点,

该点就是三角形外接圆的圆心。

🏷️ 这个点叫做: 外接圆的圆心(外心)

(英语:Circumcenter)

📝 证明:

设 O = AB 的垂直平分线与 BC 的垂直平分线的交点

求证:O 也在 AC 的垂直平分线上

• O 在 AB 的垂直平分线上 → OA = OB(垂直平分线定理)
• O 在 BC 的垂直平分线上 → OB = OC(垂直平分线定理)
• 因此:OA = OC
• 由逆定理:O 在 AC 的垂直平分线上! ✓

结论:三条垂直平分线交于 O,且 OA = OB = OC = 外接圆的半径

任何三角形都可以被一个圆外接

(即存在一个圆经过它的三个顶点)

💡 证明:

三角形的三个顶点是不共线的三点(否则就不是三角形了!)。

根据前面的定理 —— 过这样的 3 个点有唯一一个圆。

🤔 为什么直角三角形的外心在斜边上?

因为直径所对的圆周角 = 90°!

直角"面对"着斜边,所以斜边必定是直径。

🏥 三村共建医院:

在地图上标出三个村庄的位置,找出外接圆的圆心 —— 那就是到三处距离都相等的地方!

📡 三户共用一座天线:

WiFi 天线应放在哪里才能让三户人家的距离相等?

🎡 摩天轮:

摩天轮上的三个吊舱 —— 中心到它们的距离都相等(这就是半径!)