圆 —— A' 部分
三角形的高与内切圆
📐 定理:三条高交于一点
三角形的三条高交于一点
🏷️ 这个点叫做: 垂心(Orthocenter)
📍 垂心在哪里?
- 锐角三角形:在三角形内部
- 直角三角形:在直角顶点处!
- 钝角三角形:在三角形外部
🎯 三角形的 4 个特殊点
| 所交直线 | 交点名称 | 含义 |
|---|---|---|
| 中线 | 重心 | 质量平衡点 |
| 角平分线 | 内心 | 内切圆的圆心 |
| 垂直平分线 | 外心 | 外接圆的圆心 |
| 高 | 垂心 | - |
⭐ 三角形的内切圆
每个三角形都有一个内切圆
(即与三条边都内切的圆)
📍 内切圆的圆心:
三条角平分线的交点
(始终位于三角形内部!)
💡 为什么是角平分线?
内切圆的圆心必须到三条边的距离都相等(这就是半径)。
到夹角两边距离相等的点 —— 就在角平分线上!
因此三条角平分线的交点到 3 条边的距离都相等。
🔄 外接圆 vs 内切圆 —— 区别在哪?
| 外接圆 | 内切圆 | |
|---|---|---|
| 位置 | 在三角形外(包围三角形) | 在三角形内部 |
| 经过 | 三个顶点 | 与三条边相切 |
| 圆心 | 垂直平分线的交点 | 角平分线的交点 |
| 半径 = | 到顶点的距离 | 到边的距离 |
💡 记忆技巧:
外接圆 = 圆从外面包围三角形
内切圆 = 圆内切在三角形内部
📝 第三部分小结
三条高交于垂心
外接圆:过顶点,圆心 = 垂直平分线的交点
内切圆:切边,圆心 = 角平分线的交点