圆内接四边形 = 4 个顶点都在圆上的四边形

(也叫:圆四边形 / 共圆四边形)

四边形内接于圆 ⟺ 对角之和 = 180°

💡 换句话说:

α + γ = 180° 并且 β + δ = 180°

📝 证明(其中一个方向):

已知:ABCD 内接于圆

求证:∠A + ∠C = 180°

• ∠A 是所对弧 BCD 的圆周角
• ∠C 是所对弧 BAD 的圆周角
• 弧 BCD + 弧 BAD = 整个圆 = 360°
• 圆周角 = ½ 所对弧
• 因此:∠A + ∠C = ½(弧 BCD)+ ½(弧 BAD)= ½ × 360° = 180° ✓

⚠️ 重要:这个定理 双向都成立!

若已知 α + γ = 180° → 该四边形可内接于圆

若该四边形内接于圆 → 必有 α + γ = 180°

外切四边形 = 4 条边都与圆相切的四边形

(圆从内部与每条边相切)

凸四边形外切于圆 ⟺ 对边之和相等

💡 换句话说:

a + c = b + d

📝 证明(为什么成立):

回顾:从同一点到圆的两条切线 长度相等!

把每个顶点引出的切线段设为:

• 从 A:线段 p, p
• 从 B:线段 q, q
• 从 C:线段 r, r
• 从 D:线段 s, s

于是:

• a = p + q
• b = q + r
• c = r + s
• d = s + p

a + c =(p+q)+(r+s)= p + q + r + s

b + d =(q+r)+(s+p)= p + q + r + s

故 a + c = b + d ✓

矩形可以内接于圆吗?

可以!每个角都是 90°,对角和 = 90° + 90° = 180° ✓

菱形可以内接于圆吗?

只有它是正方形时才可以!(否则对角之和不等于 180°)

菱形可以外切于圆吗?

可以!四条边都相等,所以 a = b = c = d,自然有 a + c = b + d ✓