圆 —— B' 部分
从圆心到弦的垂线
⭐ 定理:从圆心到弦的垂线
从圆心到弦的垂线:
- 平分弦(AM = MB)
- 平分对应的圆心角
- 平分对应的弧
📝 证明
已知:OM ⊥ AB(O 是圆心,M 在弦 AB 上)
求证:AM = MB
在三角形 △OMA 与 △OMB 中:
- OA = OB = r(半径)
- ∠OMA = ∠OMB = 90°(已知 —— 垂直)
- OM = OM(公共边)
因此 △OMA ≅ △OMB(HL,直角三角形斜边-直角边)
结论:AM = MB ✓
附加结论:∠AOM = ∠BOM(圆心角被平分!)
由于圆心角相等 → 对应弧相等(弧被平分!)
🔄 逆定理
从圆心出发并平分弦的线段 —— 必垂直于该弦!
💡 换句话说:
若已知 AM = MB,且 O 是圆心
那么 OM ⊥ AB
📝 证明:
O 到 A、B 的距离相等(都 = r)
M 到 A、B 的距离也相等(已知 AM = MB)
因此 O 与 M 都在 AB 的垂直平分线上!
所以直线 OM 就是 AB 的垂直平分线,即 OM ⊥ AB ✓
💡 常见应用
1. 寻找圆心:
如果我们有一个圆,但不知道圆心在哪里?
- 画两条弦
- 找出每条弦的中点
- 从中点作弦的垂线
- 两条垂线的交点就是圆心!
2. 计算弦长:
若已知半径与到圆心的距离:
r² = d² + (弦/2)²
弦 = 2√(r² - d²)
✏️ 数值例子
问题:在半径为 10 cm" 的圆中,弦到圆心的距离为 6 cm",求弦的长度?
解:
- r = 10,d = 6
- 由勾股定理:10² = 6² + (弦/2)²
- 100 = 36 + (弦/2)²
- (弦/2)² = 64
- 弦/2 = 8
- 弦 = 16 cm"
📝 第八部分小结
从圆心到弦的垂线 → 平分弦、圆心角与弧
从圆心出发并平分弦的线段 → 必垂直于该弦
公式:r² = d² + (弦/2)²