平面几何
第 10 页:综合总结与应用
📐 部分 A':三角形中的特殊线
| 线 | 定义 | 交点 | 特殊性质 |
|---|---|---|---|
| 中线 | 从顶点到边的中点 | 重心(G) | 按 2:1 分割,分成相等的面积 |
| 角平分线 | 将角平分为两部分 | 内切圆圆心(I) | 几何轨迹,BD/DC=AB/AC |
| 中垂线 | 从边的中点出发,垂直于边 | 外接圆圆心(O) | 几何轨迹,OA=OB=OC |
| 高 | 从顶点出发,垂直于对边 | 垂心(H) | 随三角形类型变化 |
💡 记住:在等边三角形中,所有 4 条特殊线重合!
在等腰三角形中:到底边的线重合。
📐 部分 B':三角形相似
三个相似定理:
+ 夹角
相似三角形中的比例(k = 相似比):
高、中线、
角平分线
✏️ 综合练习 1:特殊线
问题:在三角形 ABC 中,中线为 AM、BN、CP,在点 G 相交。
如果 AM = 18 c"m,求线段 AG 的长度?
解答:
中线的交点(重心)按 2:1 分割每条中线。
AG = ⅔ × AM = ⅔ × 18 = 12 c"m
✏️ 综合练习 2:三角形相似
问题:如图,DE || BC。
AD = 5,DB = 10,AE = 4。
求 EC 以及面积比 SADE/SABC。
解答:
步骤 1:证明相似
∠A 是公共角,∠ADE = ∠ABC(同位角)
根据 AA 定理:△ADE ~ △ABC
步骤 2:相似比
k = AB/AD = (5+10)/5 = 15/5 = 3
步骤 3:求 EC
AC/AE = k → AC = 3 × 4 = 12
EC = AC - AE = 12 - 4 = 8
步骤 4:面积比
SADE/SABC = 1/k² = 1/9 = 1:9
✏️ 综合练习 3:角平分线
问题:在三角形 ABC 中,AB = 10,AC = 15,BC = 20。
从 A 出发的角平分线在点 D 与 BC 相交。
求 BD 和 DC。
解答:
根据角平分线定理:BD/DC = AB/AC = 10/15 = 2/3
设 BD = 2x,DC = 3x
BD + DC = BC
2x + 3x = 20
5x = 20 → x = 4
BD = 8,DC = 12
🌍 现实生活中的应用
🗺️ 地图与导航
地图是现实的缩小 — 这就是相似!比例尺 = 相似比。
📷 摄影与放大
照片放大 2 倍 = 需要 4 倍的纸(k²)!
🏗️ 建筑学
建筑模型 = 相似。重心 = 平衡点。
🌳 高度测量
影子形成相似三角形 — 不爬树也能测量它的高度!
💡 考试技巧
- 识别题目类型:是特殊线还是相似?
- 画图!即使已有图,也要在上面标出已知数据。
- 在相似题中 — 选择正确的定理:角用 AA,边用 SSS/SAS。
- 注意书写顺序:△ABC ~ △DEF — 顺序决定对应关系!
- 记住:长度 → k,面积 → k²
- 角平分线题:BD/DC = AB/AC(不要把顺序搞反!)
- 中线题:比为 2:1 — 较大的一段靠近顶点。
🎓 章节结束 — 平面几何
我们学习了:
✓ 4 种特殊线:中线、角平分线、中垂线、高
✓ 4 个特殊的交点
✓ 3 个相似定理:AA、SSS、SAS
✓ 相似中的比例:周长、面积、特殊线
🌟 祝你好运! 🌟