平面几何
第 4 页:中垂线
📖 定义
线段的中垂线是这样一条直线:
1️⃣ 经过线段的中点
2️⃣ 垂直于该线段
M 是 AB 的中点,中垂线垂直于 AB
⭐ 定理 1:中垂线作为几何轨迹
线段的中垂线是所有到线段两端距离相等的
点的几何轨迹。
🎯 这是什么意思?
- 中垂线上的任何点 → 到 A 和 B 的距离相等
- 到 A 和 B 距离相等的任何点 → 位于中垂线上
💡 例子:在哪里建房子,才能距离两条平行的道路距离相等?
答:在它们之间的中线上(其实就是连接两道路的任何垂直线段的"中垂线")。
⭐ 定理 2:三条中垂线交于一点
三角形三条边的中垂线相交于一点。
🎯 为什么这很特别?
点 O 位于中垂线上,因此:
- O 到 A 的距离 = O 到 B 的距离(因为 O 在 AB 的中垂线上)
- O 到 B 的距离 = O 到 C 的距离(因为 O 在 BC 的中垂线上)
- 因此:OA = OB = OC
→ 可以画一个以 O 为圆心、经过三个顶点的外接圆!
🔄 比较:内切圆与外接圆
| 内切圆(内部) | 外接圆(外部) | |
|---|---|---|
| 圆心 | 角平分线的交点(I) | 中垂线的交点(O) |
| 位置 | 总是在三角形内部 | 也可能在外部(钝角三角形中) |
| 圆与...相切/相交 | 三条边(从内部相切) | 三个顶点 |
| 半径 | 从圆心到边的距离 | 从圆心到顶点的距离 |
🌍 生活中的例子
📍 移动通信基站的设置:
有三个城镇 A、B、C。想要设置一个天线,使它到三个城镇的距离都相等。
解决方案:画出中垂线,找到它们的交点 O。把天线放在那里!
🏥 区域医院:同样的思路 — 在哪里建医院,才能到三个社区的距离都相等?
📝 第 4 页总结 — 中垂线
定义:经过线段中点且垂直于线段的直线
几何轨迹:到线段两端距离相等的点
共点:3 条中垂线相交于一点 = 外接圆的圆心
性质:OA = OB = OC(到顶点距离相等)