平面几何
第 6 页:什么是三角形相似?
🤔 什么是"相似"?
在日常生活中,当我们说"两件东西相似"时,意思是它们看起来一样,但不一定大小相同。
例子:
- 🗺️ 地图与真实国家 — 形状相同,大小不同
- 📷 缩小/放大的照片 — 相同的比例
- 👕 S, M, L 号衬衫 — 同款式,不同尺寸
- 🏠 模型与建筑 — 建筑师在建造真实建筑之前先建造小模型
📖 数学定义
两个三角形称为相似的,如果:
1️⃣ 所有对应角相等
2️⃣ 所有对应边的比为常数(相似比)
符号:△ABC ~ △A'B'C'(符号 ~ 表示"相似于")
📐 相似比(k)
相似比是连接对应边的常数:
k = A'B'/AB = B'C'/BC = A'C'/AC
含义:
- 如果 k = 2 → 大三角形比小三角形大 2 倍
- 如果 k = 0.5 → 大三角形比小三角形小 2 倍(实际上它是较小的!)
- 如果 k = 1 → 这两个三角形全等(完全相同的大小)
💡 数值例题:
在三角形 ABC 中:AB = 3,BC = 4,AC = 5
在三角形 A'B'C' 中:A'B' = 6,B'C' = 8,A'C' = 10
相似比:k = 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2
大三角形大 2 倍!
⚖️ 相似与全等 — 区别在哪?
| 全等(≅) | 相似(~) | |
|---|---|---|
| 角 | 相等 | 相等 |
| 边 | 完全相等 | 成常数比 |
| 大小 | 大小相同 | 可以不同 |
| 形状 | 相同 | 相同 |
| 相似比 | k = 1 | k 可以是任意正数 |
💡 结论:全等是相似的特殊情况(当 k = 1 时)
🔍 如何识别对应边和对应角?
规则:符号 △ABC ~ △DEF 中的顺序决定了对应关系!
如果 △ABC ~ △DEF,那么:
- ∠A = ∠D(第一对顶点)
- ∠B = ∠E(第二对顶点)
- ∠C = ∠F(第三对顶点)
还有:
- AB 对应 DE
- BC 对应 EF
- AC 对应 DF
⚠️ 重要:写 △ABC ~ △DEF 与 △ABC ~ △EDF 是不同的!
顺序很重要,因为它决定了谁对应谁。
✏️ 数值例题
已知:△ABC ~ △DEF,其中:
AB = 4,BC = 6,AC = 8
DE = 6
求 EF 和 DF。
解答:
步骤 1:求相似比
AB 对应 DE,因此:k = DE/AB = 6/4 = 1.5
步骤 2:计算边长
EF/BC = k → EF = k × BC = 1.5 × 6 = 9
DF/AC = k → DF = k × AC = 1.5 × 8 = 12
答:EF = 9,DF = 12
📝 第 6 页总结 — 什么是相似?
相似:形状相同,大小可以不同
条件:对应角相等 + 对应边成常数比
相似比 k:所有边的恒定倍数
全等 = 相似比 k = 1 的相似