平面几何
第 7 页:AA 相似定理(角-角)
🤔 为什么需要相似定理?
根据定义,要证明两个三角形相似,需要检查:
- 3 对相等的角
- 3 对边成常数比
这是很多工作!😅
相似定理给我们"捷径" — 只需检查更少的条件!
⭐ AA 相似定理(角-角)
如果一个三角形中的两个角
等于另一个三角形中的两个角,
那么这两个三角形相似。
∠A = ∠D 并且 ∠B = ∠E
↓
△ABC ~ △DEF
💡 为什么只需要两个角?
重要提醒:三角形内角和 = 180°
如果两个角相等,那么第三个角必然也相等!
例子:
如果 ∠A = ∠D = 50° 且 ∠B = ∠E = 70°
那么:∠C = 180° - 50° - 70° = 60°
并且:∠F = 180° - 50° - 70° = 60°
→ ∠C = ∠F 自动成立!
结论:只需检查 2 个角,第三个"免费获得"!🎁
✏️ 例题 1:判断相似
问题:在三角形 ABC 中:∠A = 40°,∠B = 75°
在三角形 DEF 中:∠D = 40°,∠F = 65°
这两个三角形相似吗?
解答:
步骤 1:计算缺失的角
∠C = 180° - 40° - 75° = 65°
∠E = 180° - 40° - 65° = 75°
步骤 2:比较
∠A = ∠D = 40° ✓
∠B = ∠E = 75° ✓
结论:根据 AA 定理,△ABC ~ △DEF
✏️ 例题 2:用相似计算边长
已知:如图所示,DE || BC。
AD = 4,DB = 6,DE = 5。
求 BC。
解答:
步骤 1:证明相似
∠A 是两个三角形的公共角 ✓
∠ADE = ∠ABC(同位角,DE || BC)✓
根据 AA 定理:△ADE ~ △ABC
步骤 2:计算相似比
k = AB/AD = (4+6)/4 = 10/4 = 2.5
步骤 3:计算 BC
BC/DE = k
BC = k × DE = 2.5 × 5 = 12.5
📌 何时使用 AA 定理?
AA 是最常用的定理!我们在以下情况使用它:
- 公共角 — 同一个角出现在两个三角形中
- 平行直线 — 形成相等的同位角/内错角
- 已知角 — 给出了角的大小
- 直角 — 当有两个 90° 的角时
💡 提示:AA 定理完全不需要边长信息!
🌍 生活中的例子:测量树的高度
想知道树的高度而不需要爬上去!
思路:太阳光线平行 → 形成相等的角!
已知数据:木棍高度 = 1.5 m',木棍影子 = 0.8 m',树的影子 = 12 m'
解答:
两个三角形根据 AA 定理相似(直角 + 太阳光线的角)
树的高度 / 木棍高度 = 树的影子 / 木棍影子
树的高度 / 1.5 = 12 / 0.8
树的高度 = 1.5 × 15 = 22.5 m'
📝 第 7 页总结 — AA 定理
定理:2 个角相等 → 三角形相似
为什么 2 个就够了?第三个角自动确定(总和 = 180°)
何时使用?公共角、平行线、直角
AA = 最常用的定理!