平面几何
第 8 页:相似定理 SSS 和 SAS
📚 三个相似定理
有三个相似定理可以用来证明三角形相似:
⭐ SSS 相似定理(边-边-边)
如果一个三角形的三条边
与另一个三角形的三条边成相同的比,
那么这两个三角形相似。
DE/AB = EF/BC = DF/AC = k
↓
△ABC ~ △DEF
💡 在例子中:
12/6 = 10/5 = 8/4 = 2
所有边都成 2 的比 → 三角形相似!
✏️ 例题:使用 SSS
问题:这两个三角形相似吗?
三角形 ABC:AB = 9,BC = 12,AC = 15
三角形 DEF:DE = 6,EF = 8,DF = 10
解答:
检查对应边之间的比:
AB/DE = 9/6 = 1.5
BC/EF = 12/8 = 1.5
AC/DF = 15/10 = 1.5
所有比都相等!根据 SSS 定理:△ABC ~ △DEF,相似比 k = 1.5
⭐ SAS 相似定理(边-角-边)
如果一个三角形的两条边
与另一个三角形的两条对应边成相同的比,
并且这两条边之间的夹角相等,
那么这两个三角形相似。
AB/DE = AC/DF 且 ∠A = ∠D
↓
△ABC ~ △DEF
⚠️ 重要:这个角必须是两条边之间的夹角!
其他角不行。
✏️ 例题:使用 SAS
问题:在三角形 ABC 中:AB = 8,AC = 12,∠A = 50°
在三角形 DEF 中:DE = 4,DF = 6,∠D = 50°
证明这两个三角形相似并求相似比。
解答:
检查夹角两边的比:
AB/DE = 8/4 = 2
AC/DF = 12/6 = 2
检查夹角:
∠A = ∠D = 50° ✓
根据 SAS 定理:△ABC ~ △DEF
相似比:k = 2
📊 对比表格:三个相似定理
| 定理 | 需要检查什么? | 何时使用? |
|---|---|---|
| AA | 2 个角相等 | 有关于角的信息、平行线、公共角 |
| SSS | 3 对边成相等的比 | 有所有 6 条边的信息 |
| SAS | 2 条边成比 + 它们之间的角 | 有 2 对边 + 夹角 |
💡 提示:根据问题中给出的信息选择合适的定理!
🔄 相似与全等 — 定理对比
| 全等 | 相似 |
|---|---|
| SAS — 边相等 | SAS — 边成比 |
| ASA — 边相等 | AA(2 个角就够了!) |
| SSS — 边相等 | SSS — 边成比 |
请注意:在相似中没有 ASA 定理!
原因:在相似中,只知道一条边成比是不够的 — 至少需要两条。
📝 第 8 页总结 — SSS 与 SAS
SSS:所有 3 条边成相等的比 → 相似
SAS:2 条边成比 + 夹角相等 → 相似
选择定理:根据问题中给出的信息
AA 最常用!SSS 和 SAS 在有关于边的信息时使用