平面几何 - 相似三角形中的比例

平面几何

第 9 页:相似三角形中的比

🎯 这一页我们将学习什么?

当三角形相似且相似比为 k 时,以下各项会怎么样:

  • 📏 周长 — 它们之间的比是多少?
  • 📐 面积 — 它们之间的比是多少?
  • 📍 特殊线 — 高、中线、角平分线?

⭐ 定理 1:周长比

在相似三角形中,周长比等于相似比。

P'/P = k

🤔 为什么这是合理的?

周长 = 各边之和。如果每条边都大 k 倍,那么总和也大 k 倍!

💡 例子:
小三角形:边 3、4、5 → 周长 = 12
相似比 k = 2
大三角形:边 6、8、10 → 周长 = 24
周长比:24/12 = 2 = k ✓

P = 12 P' = 24 ×k P'/P = k

⭐ 定理 2:面积比

在相似三角形中,面积比等于相似比的平方。

S'/S = k²

🤔 为什么是 k 的平方而不是 k?

面积 = 底 × 高 / 2。底和高都大 k 倍,因此:

S' = (k × 底) × (k × 高) / 2 = k² × S

💡 例子:
小三角形:面积 = 6
相似比 k = 3
大三角形:面积 = 6 × 3² = 6 × 9 = 54

S=6 S'=54 ×k² S'/S = k² 54/6 = 9 = 3²

✏️ 例题:计算面积和周长

问题:两个三角形相似。
小三角形的周长 = 20 c"m,面积 = 15 cm"²。
相似比 k = 4。
求大三角形的周长和面积。

解答:

周长:P' = k × P = 4 × 20 = 80 c"m

面积:S' = k² × S = 4² × 15 = 16 × 15 = 240 cm"²

⭐ 定理 3:特殊线的比

在相似三角形中:

1. 对应高的比等于相似比 (k)
2. 对应中线的比等于相似比 (k)
3. 对应角平分线的比等于相似比 (k)

🤔 为什么是 k 而不是 k²?

高、中线和角平分线是线段(长度) — 不是面积!
长度大 k 倍,面积大 k² 倍。

h h' ×k h'/h = k m'/m = k t'/t = k

📊 汇总表格:相似三角形中的比

大小 比 例子(k=3)
边 k 边 4 → 边 12
高 k 高 5 → 高 15
中线 k 中线 6 → 中线 18
角平分线 k 平分线 4 → 平分线 12
周长 k 周长 15 → 周长 45
面积 k² 面积 10 → 面积 90

🔑 黄金法则:
长度(1D) → 比为 k
面积(2D) → 比为 k²

🌍 生活中的例子:照片放大

你有一张 4×6 c"m 的照片,想把它放大 3 倍。

新的尺寸是多少?
4×3 = 12 c"m,6×3 = 18 c"m → 照片 12×18 c"m

需要多少纸?
原面积:4×6 = 24 cm"²
新面积:12×18 = 216 cm"² = 24 × 9 = 24 × 3²

→ 需要 9 倍多的纸(不是 3 倍!)

📝 第 9 页总结 — 相似中的比

周长:比为 k(和边一样)

特殊线:比为 k(高、中线、角平分线)

面积:比为 k²(相似比的平方!)

记住:长度 → k,面积 → k²