双曲线
第 1 页:双曲线入门
📐 几何定义
双曲线是平面上所有满足以下条件的点的集合:到两个固定点(焦点)的距离之差是一个常数。
💡 用数学语言表示:
\(|PF_1 - PF_2| = 2a\)
其中 P 是双曲线上的一个点,\(F_1, F_2\) 是焦点
🔍 与椭圆的对比:
| 椭圆 | 双曲线 |
|---|---|
| 距离之和为常数 | 距离之差为常数 |
| \(PF_1 + PF_2 = 2a\) | \(|PF_1 - PF_2| = 2a\) |
| 闭合曲线 | 两个分离的分支 |
🎨 双曲线图示 - 水平实轴
请注意:双曲线有两个分离的分支 - 右支和左支
📚 基本概念
| 概念 | 解释 | 符号 |
|---|---|---|
| 中心 | 坐标轴的交点。对于标准双曲线:坐标原点 | \(O(0,0)\) |
| 焦点 | 定义双曲线的两个固定点 | \(F_1, F_2\) |
| 顶点 | 双曲线上离中心最近的点 | \(A_1, A_2\) |
| 实轴 | 经过焦点和顶点的轴 | 长度:\(2a\) |
| 虚轴 | 垂直于实轴并经过中心的轴 | 长度:\(2b\) |
| 渐近线 | 双曲线在无穷远处接近但永远不会触及的直线 | 2 条直线 |
🔢 参数 a, b, c
| 参数 | 含义 |
|---|---|
| a | 从中心到每个顶点的距离(实半轴长) |
| b | 虚半轴长(决定渐近线的斜率) |
| c | 从中心到每个焦点的距离 |
⚠️ 重要关系(与椭圆不同!):
\(c^2 = a^2 + b^2\)
在双曲线中总是:\(c > a\)(焦点在顶点"之外")
📝 标准方程
类型 1:水平实轴(在 x 轴上)
\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
顶点:
\((\pm a, 0)\)
焦点:
\((\pm c, 0)\)
渐近线:
\(y = \pm \frac{b}{a}x\)
类型 2:垂直实轴(在 y 轴上)
\(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\)
顶点:
\((0, \pm a)\)
焦点:
\((0, \pm c)\)
渐近线:
\(y = \pm \frac{a}{b}x\)
💡 如何识别?
- x² 为 +(且 y² 为 −)→ 实轴水平
- y² 为 +(且 x² 为 −)→ 实轴垂直
- a² 总是位于正项下方!
🎨 双曲线图示 - 垂直实轴
这里分支向上和向下(而不是左右)
✏️ 例题
已知双曲线: \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
求所有参数。
解答:
1. 识别:x² 为正 → 实轴水平
2. 求 a, b:
\(a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\)
\(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\)
3. 求 c:
\(c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c = 5\)
4. 数据:
- 顶点:\(A_1(3, 0), A_2(-3, 0)\)
- 焦点:\(F_1(5, 0), F_2(-5, 0)\)
- 渐近线:\(y = \pm \frac{4}{3}x\)
💡 高考技巧
在双曲线中: \(c^2 = a^2 + b^2\)
(与椭圆不同!)
a² 总是位于正项下方
焦点在实轴上
📝 第 1 页总结
双曲线 = 距离之差为常数:\(|PF_1 - PF_2| = 2a\)
关系:\(c^2 = a^2 + b^2\)
两种类型:水平轴 / 垂直轴