\(c^2 = a^2 + b^2\)

💡 几何解释:

在由中心、顶点和 b 点构成的直角三角形中:

• 一条直角边长度为 a(从中心到顶点)
• 另一条直角边长度为 b
• 斜边长度为 c(从中心到焦点)

⚠️ 与椭圆的对比:

离心率衡量双曲线的"开放"程度

\(e = \frac{c}{a}\)

💡 在双曲线中总是:

\(e > 1\)

因为 \(c > a\)(焦点比顶点更远离中心)

含义:

• \(e\) 接近 1:分支更"闭合"(渐近线夹角较小)
• \(e\) 较大:分支更"开放"(渐近线夹角较大)

✏️ 例题:

对于双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)

\(a = 3, c = 5\)

\(e = \frac{5}{3} \approx 1.67\)

渐近线是双曲线在 x 或 y 趋于无穷时所接近的直线,但永远不会触及它们。

💡 记忆技巧:

渐近线方程是通过将 1 替换为 0 得到的:

\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0\)

\(\frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{a^2}\) → \(y = \pm \frac{b}{a}x\)

当 \(a = b\) 时,该双曲线被称为等轴双曲线或等边双曲线

特殊性质:

• 方程:\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1\) 或 \(x^2 - y^2 = a^2\)
• 渐近线:\(y = \pm x\)(斜率为 1 和 -1)
• 离心率:\(e = \sqrt{2} \approx 1.414\)
• 渐近线之间的夹角:90°

✏️ 例题: \(x^2 - y^2 = 4\)

这里 \(a^2 = b^2 = 4\) → \(a = b = 2\)

渐近线:\(y = x\) 和 \(y = -x\)

半通径(p)是从焦点到双曲线上一点的距离,该线段垂直于实轴

\(p = \frac{b^2}{a}\)

💡 通径(Latus Rectum):

通过焦点并垂直于实轴的弦

长度:\(2p = \frac{2b^2}{a}\)

✏️ 例题:

对于双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)

\(a = 3, b = 4\)

\(p = \frac{16}{3} \approx 5.33\)

对于点 \(P(x_0, y_0)\) 在双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 上:

水平实轴:

如果点在右支(\(x_0 > 0\)):

\(PF_1 = ex_0 - a\)   ,   \(PF_2 = ex_0 + a\)

如果点在左支(\(x_0 < 0\)):

\(PF_1 = -ex_0 + a\)   ,   \(PF_2 = -ex_0 - a\)

💡 一般公式(用绝对值):

\(PF_1 = |ex_0 - a|\)   ,   \(PF_2 = |ex_0 + a|\)

当然:\(|PF_1 - PF_2| = 2a\)

已知双曲线:\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)

求所有参数。