双曲线
第 3 页:从条件建立双曲线方程
📐 建立原理
为了建立双曲线的标准方程,需要找到:
- \(a^2\) 和 \(b^2\)
- 双曲线的类型(水平轴或垂直轴)
💡 公式提醒:
- \(c^2 = a^2 + b^2\)
- \(e = \frac{c}{a}\)
- 渐近线(水平):\(y = \pm \frac{b}{a}x\)
1️⃣ 已知:焦点和顶点
例题 1:
焦点:\(F_1(5,0), F_2(-5,0)\)
顶点:\(A_1(3,0), A_2(-3,0)\)
求双曲线的方程。
解答:
步骤 1:识别类型
焦点和顶点在 x 轴上 → 水平实轴
步骤 2:求 a 和 c
\(c = 5\)(从中心到焦点的距离)
\(a = 3\)(从中心到顶点的距离)
步骤 3:求 b
\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(25 = 9 + b^2\)
\(b^2 = 16\)
答:\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
2️⃣ 已知:焦点和离心率
例题 2:
焦点:\((0, \pm 10)\)
离心率:\(e = 2\)
求双曲线的方程。
解答:
步骤 1:识别类型
焦点在 y 轴上 → 垂直实轴
步骤 2:求 c
\(c = 10\)
步骤 3:从离心率求 a
\(e = \frac{c}{a}\)
\(2 = \frac{10}{a}\)
\(a = 5\) → \(a^2 = 25\)
步骤 4:求 b
\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(100 = 25 + b^2\)
\(b^2 = 75\)
答:\(\frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{75} = 1\)
3️⃣ 已知:渐近线和焦点
例题 3:
渐近线:\(y = \pm \frac{3}{4}x\)
焦点:\((\pm 5, 0)\)
求双曲线的方程。
解答:
步骤 1:识别类型
焦点在 x 轴上 → 水平实轴
\(c = 5\)
步骤 2:从渐近线
在水平轴中:\(\frac{b}{a} = \frac{3}{4}\)
设:\(b = 3k, a = 4k\) 对于某个 k
步骤 3:使用 \(c^2 = a^2 + b^2\)
\(25 = 16k^2 + 9k^2\)
\(25 = 25k^2\)
\(k^2 = 1 \Rightarrow k = 1\)
步骤 4:求 a², b²
\(a = 4, b = 3\)
\(a^2 = 16, b^2 = 9\)
答:\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)
4️⃣ 已知:渐近线和顶点
例题 4:
渐近线:\(y = \pm 2x\)
顶点:\((3, 0)\)
求双曲线的方程。
解答:
步骤 1:识别类型
顶点在 x 轴上 → 水平实轴
\(a = 3\)
步骤 2:从渐近线
\(\frac{b}{a} = 2\)
\(\frac{b}{3} = 2\)
\(b = 6\)
答:\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1\)
5️⃣ 已知:双曲线上的点
例题 5:
水平实轴的双曲线
经过点 \((5, \frac{16}{3})\)
渐近线:\(y = \pm \frac{4}{3}x\)
求双曲线的方程。
解答:
步骤 1:从渐近线
\(\frac{b}{a} = \frac{4}{3}\) → \(b = \frac{4a}{3}\)
步骤 2:一般方程
\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
步骤 3:代入点
\(\frac{25}{a^2} - \frac{(\frac{16}{3})^2}{(\frac{4a}{3})^2} = 1\)
\(\frac{25}{a^2} - \frac{\frac{256}{9}}{\frac{16a^2}{9}} = 1\)
\(\frac{25}{a^2} - \frac{256}{16a^2} = 1\)
\(\frac{25}{a^2} - \frac{16}{a^2} = 1\)
\(\frac{9}{a^2} = 1\)
\(a^2 = 9\)
步骤 4:求 b²
\(b = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4\) → \(b^2 = 16\)
答:\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
6️⃣ 已知:到焦点的距离差
例题 6:
焦点:\((\pm 13, 0)\)
双曲线上每点到焦点的距离差:10
求双曲线的方程。
解答:
步骤 1:从焦点
\(c = 13\)
水平实轴(焦点在 x 轴上)
步骤 2:从距离差
\(|PF_1 - PF_2| = 2a = 10\)
\(a = 5\)
步骤 3:求 b
\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(169 = 25 + b^2\)
\(b^2 = 144\)
答:\(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{144} = 1\)
🔍 从方程识别参数
例题 7:
已知方程:\(9x^2 - 4y^2 = 36\)
求所有参数。
解答:
步骤 1:转化为标准形式(除以 36)
\(\frac{9x^2}{36} - \frac{4y^2}{36} = 1\)
\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\)
步骤 2:识别参数
x² 为正 → 水平轴
\(a^2 = 4 \Rightarrow a = 2\)
\(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\)
\(c = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\)
答:
- 顶点:\((\pm 2, 0)\)
- 焦点:\((\pm \sqrt{13}, 0)\)
- 渐近线:\(y = \pm \frac{3}{2}x\)
- 离心率:\(e = \frac{\sqrt{13}}{2}\)
💡 建立方程的技巧
首先:识别实轴的类型
距离差:= 2a
使用:\(c^2 = a^2 + b^2\)
📝 第 3 页总结
建立方程需要:a² 和 b² + 轴的类型
使用:\(c^2 = a^2 + b^2\)、\(e = \frac{c}{a}\)、渐近线