双曲线
第 4 页:双曲线与直线
📐 直线与双曲线的相遇类型
| 情况 | 交点数 | 判别式 |
|---|---|---|
| 相交直线 | 2 | \(\Delta > 0\) |
| 切线 | 1 | \(\Delta = 0\) |
| 相离直线 | 0 | \(\Delta < 0\) |
📋 求交点的方法
- 写出两个方程:
双曲线:\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
直线:\(y = mx + n\)
- 将直线方程的 y 代入双曲线
- 得到关于 x 的二次方程
- 检验判别式(Δ)
- 求解并找出交点
✏️ 例题 1:求交点
求以下曲线的交点:
双曲线:\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\)
直线:\(y = x + 1\)
解答:
步骤 1:代入 \(y = x + 1\)
\(\frac{x^2}{4} - \frac{(x+1)^2}{9} = 1\)
步骤 2:乘以 36
\(9x^2 - 4(x+1)^2 = 36\)
\(9x^2 - 4(x^2 + 2x + 1) = 36\)
\(9x^2 - 4x^2 - 8x - 4 = 36\)
\(5x^2 - 8x - 40 = 0\)
步骤 3:求根公式
\(\Delta = 64 + 800 = 864 > 0\) → 有 2 个解
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{864}}{10} = \frac{8 \pm 12\sqrt{6}}{10} = \frac{4 \pm 6\sqrt{6}}{5}\)
步骤 4:求 y
\(y_1 = x_1 + 1 = \frac{4 + 6\sqrt{6}}{5} + 1 = \frac{9 + 6\sqrt{6}}{5}\)
\(y_2 = x_2 + 1 = \frac{4 - 6\sqrt{6}}{5} + 1 = \frac{9 - 6\sqrt{6}}{5}\)
交点:
\(\left(\frac{4 + 6\sqrt{6}}{5}, \frac{9 + 6\sqrt{6}}{5}\right)\) 和 \(\left(\frac{4 - 6\sqrt{6}}{5}, \frac{9 - 6\sqrt{6}}{5}\right)\)
🎯 相切条件(Δ = 0)
为使直线与双曲线相切:
\(\Delta = 0\)
即,得到的二次方程有唯一解
✏️ 例题 2:
求 m 的值使得直线 \(y = mx + 2\)
与双曲线 \(\frac{x^2}{4} - y^2 = 1\) 相切
解答:
步骤 1:代入 y
\(\frac{x^2}{4} - (mx + 2)^2 = 1\)
步骤 2:展开
\(\frac{x^2}{4} - m^2x^2 - 4mx - 4 = 1\)
乘以 4:
\(x^2 - 4m^2x^2 - 16mx - 16 = 4\)
\((1 - 4m^2)x^2 - 16mx - 20 = 0\)
步骤 3:相切条件 Δ = 0
\(a = 1-4m^2, \quad b = -16m, \quad c = -20\)
\(\Delta = 256m^2 + 80(1-4m^2) = 0\)
\(256m^2 + 80 - 320m^2 = 0\)
\(-64m^2 + 80 = 0\)
\(m^2 = \frac{80}{64} = \frac{5}{4}\)
\(m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}\)
答:\(m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}\)
📏 在双曲线上某点的切线方程
对于双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
和双曲线上的点 \(P(x_0, y_0)\):
\(\frac{x \cdot x_0}{a^2} - \frac{y \cdot y_0}{b^2} = 1\)
💡 如何记忆?
将 \(x^2\) 替换为 \(x \cdot x_0\),将 \(y^2\) 替换为 \(y \cdot y_0\)
✏️ 例题 3:
求双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\) 的切线方程
在点 \((5, \frac{16}{3})\)
解答:
代入公式:
\(\frac{x \cdot 5}{9} - \frac{y \cdot \frac{16}{3}}{16} = 1\)
\(\frac{5x}{9} - \frac{y}{3} = 1\)
乘以 9:
\(5x - 3y = 9\)
切线方程:\(5x - 3y = 9\)
⚠️ 特殊情况:平行于渐近线的直线
平行于渐近线的直线(斜率为 \(\pm \frac{b}{a}\))只与双曲线相交于一点——但它不是切线!
💡 解释:
当直线平行于渐近线时,所得到的方程是线性的(不是二次的!),因此有唯一解,但直线沿渐近线方向"跑向无穷"。
📐 切线斜率(利用导数)
对于双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
在点 \((x_0, y_0)\) 的切线斜率:
\(m = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\)
✏️ 例题 4:
求双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\) 的切线斜率
在点 \((5, \frac{16}{3})\)
解答:
\(m = \frac{16 \cdot 5}{9 \cdot \frac{16}{3}} = \frac{80}{48} = \frac{5}{3}\)
切线斜率:\(m = \frac{5}{3}\)
💡 考试技巧
相交:把 y 代入双曲线
切线:要求 Δ = 0
公式:\(\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1\)
📝 第 4 页总结
相交:Δ > 0 | 相切:Δ = 0 | 相离:Δ < 0
切线方程:\(\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1\)