双曲线
第 5 页:高级专题
🔄 共轭双曲线
两条共轭双曲线是具有相同渐近线但分支朝向相互垂直方向的双曲线。
若已知:
\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
那么它的共轭为:
\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)
或等价地:\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1\)
✏️ 例题:
双曲线:\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
共轭双曲线:\(\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1\)
公共渐近线:\(y = \pm \frac{4}{3}x\)
📍 点相对于双曲线的位置
对于双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
和点 \(P(x_0, y_0)\):
计算:\(S = \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2}\)
| 结果 | 点的位置 |
|---|---|
| \(S = 1\) | 在双曲线上 |
| \(S > 1\) | 两支之间(顶点之间的区域) |
| \(S < 1\) | 外部(分支区域) |
✏️ 例题:
双曲线:\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
点 \((6, 4)\) 是否在双曲线上?
\(S = \frac{36}{9} - \frac{16}{16} = 4 - 1 = 3 > 1\)
该点在两支之间(不在双曲线上)
🔦 双曲线的光学性质
从一个焦点发出的光线射到双曲线上时——会以好像来自另一个焦点的方向被反射。
💡 应用:
该性质应用于望远镜(如卡塞格林望远镜)和卫星天线。
📏 弦及其中点
弦是端点都在双曲线上的线段。
✏️ 例题:求弦长
求双曲线 \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\) 的弦长
被直线 \(y = 2\) 截取
解答:
步骤 1:求交点
代入 \(y = 2\):
\(\frac{x^2}{4} - \frac{4}{9} = 1\)
\(\frac{x^2}{4} = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}\)
\(x^2 = \frac{52}{9}\)
\(x = \pm \frac{2\sqrt{13}}{3}\)
步骤 2:交点
\(A\left(\frac{2\sqrt{13}}{3}, 2\right)\) 和 \(B\left(-\frac{2\sqrt{13}}{3}, 2\right)\)
步骤 3:弦长
(水平弦,所以只是 x 的差)
\(|AB| = \frac{2\sqrt{13}}{3} - \left(-\frac{2\sqrt{13}}{3}\right) = \frac{4\sqrt{13}}{3}\)
答:\(\frac{4\sqrt{13}}{3}\)
📐 平移的双曲线
中心在 \((h, k)\) 而非原点的双曲线:
\(\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\)
| 元素 | 标准形式 | 平移后 |
|---|---|---|
| 中心 | \((0, 0)\) | \((h, k)\) |
| 顶点(横轴) | \((\pm a, 0)\) | \((h \pm a, k)\) |
| 焦点(横轴) | \((\pm c, 0)\) | \((h \pm c, k)\) |
| 渐近线 | \(y = \pm \frac{b}{a}x\) | \(y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)\) |
✏️ 例题:
双曲线:\(\frac{(x-2)^2}{9} - \frac{(y+1)^2}{16} = 1\)
- 中心:\((2, -1)\)
- \(a = 3, b = 4, c = 5\)
- 顶点:\((5, -1), (-1, -1)\)
- 焦点:\((7, -1), (-3, -1)\)
- 渐近线:\(y + 1 = \pm \frac{4}{3}(x - 2)\)
📋 所有公式总结
| 主题 | 公式 |
|---|---|
| 标准方程(横轴) | \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) |
| 标准方程(纵轴) | \(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\) |
| 基本关系 | \(c^2 = a^2 + b^2\) |
| 离心率 | \(e = \frac{c}{a} > 1\) |
| 渐近线(横轴) | \(y = \pm \frac{b}{a}x\) |
| 参数 | \(p = \frac{b^2}{a}\) |
| 定义 | \(|PF_1 - PF_2| = 2a\) |
| 在某点的切线 | \(\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1\) |
| 到焦点的距离 | \(PF = |ex_0 \pm a|\) |
📝 第 5 页总结
共轭双曲线:交换符号
点的位置:S = 1(在上),S > 1(两支之间),S < 1(外部)
平移双曲线:中心 (h, k)