问题 1:

已知双曲线:\(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1\)

求:a、b、c、顶点、焦点、渐近线、离心率。

解答:

• 主轴:水平(x² 为正)
• \(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\)
• \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\)
• \(c = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\)
• 顶点:\((\pm 5, 0)\)
• 焦点:\((\pm \sqrt{34}, 0)\)
• 渐近线:\(y = \pm \frac{3}{5}x\)
• 离心率:\(e = \frac{\sqrt{34}}{5} \approx 1.17\)

问题 2:

已知双曲线:\(\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{4} = 1\)

求:a、b、c、顶点、焦点、渐近线。

解答:

• 主轴:垂直(y² 为正)
• \(a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\)
• \(b^2 = 4 \Rightarrow b = 2\)
• \(c = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
• 顶点:\((0, \pm 4)\)
• 焦点:\((0, \pm 2\sqrt{5})\)
• 渐近线:\(y = \pm \frac{4}{2}x = \pm 2x\)(注意:在垂直轴中是 a/b!)

问题 3:

已知方程:\(4x^2 - 9y^2 = 36\)

化为标准形式并求参数。

解答:

两边除以 36:

\(\frac{4x^2}{36} - \frac{9y^2}{36} = 1\)

\(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1\)

• \(a = 3, b = 2\)
• \(c = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
• 顶点:\((\pm 3, 0)\)
• 焦点:\((\pm \sqrt{13}, 0)\)

问题 4:

绘制双曲线 \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\)

标出:顶点、焦点、渐近线。

解答:

\(a = 2, b = 3, c = \sqrt{13} \approx 3.6\)

问题 5:

建立双曲线方程,已知:

焦点:\((\pm 5, 0)\)

顶点:\((\pm 4, 0)\)

解答:

• 水平主轴(焦点和顶点在 x 轴上)
• \(c = 5, a = 4\)
• \(b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 16 = 9\)

答:\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)

问题 6:

建立双曲线方程,已知:

焦点:\((0, \pm 6)\)

离心率:\(e = 1.5\)

解答:

• 垂直主轴(焦点在 y 轴上)
• \(c = 6\)
• \(e = \frac{c}{a} = 1.5\) → \(a = \frac{6}{1.5} = 4\)
• \(b^2 = 36 - 16 = 20\)

答:\(\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{20} = 1\)

问题 7:

建立双曲线方程,已知:

渐近线:\(y = \pm \frac{2}{3}x\)

经过点 \((6, 2)\)

解答:

水平主轴,\(\frac{b}{a} = \frac{2}{3}\) → \(b = \frac{2a}{3}\)

代入该点:

\(\frac{36}{a^2} - \frac{4}{\frac{4a^2}{9}} = 1\)

\(\frac{36}{a^2} - \frac{9}{a^2} = 1\)

\(\frac{27}{a^2} = 1\) → \(a^2 = 27\)

\(b^2 = \frac{4 \cdot 27}{9} = 12\)

答:\(\frac{x^2}{27} - \frac{y^2}{12} = 1\)

问题 8:

求双曲线 \(9x^2 - 16y^2 = 144\) 的渐近线方程

解答:

标准形式:\(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\)

\(a = 4, b = 3\)

渐近线:\(y = \pm \frac{3}{4}x\)

问题 9:

等轴双曲线 \(x^2 - y^2 = 1\) 的渐近线之间的夹角是多少?

解答:

渐近线:\(y = x\) 和 \(y = -x\)

斜率:\(m_1 = 1, m_2 = -1\)

\(m_1 \cdot m_2 = -1\) → 两直线垂直

答:90°

1. 求 \(\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1\) 的所有参数
2. 化为标准形式:\(25y^2 - 4x^2 = 100\)
3. 建立顶点为 \((0, \pm 3)\) 和焦点为 \((0, \pm 5)\) 的方程
4. 建立渐近线为 \(y = \pm x\) 且 \(c = 4\) 的方程

答案:

1. a=6, b=8, c=10

2. \(\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{25} = 1\)

3. \(\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1\)

4. \(\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1\)