✅ 完整解答 - 数学归纳法(10 道练习)
🔹 第一部分 – 基础难度练习的解答
练习 1 – 自然数之和
命题:对所有 \(n\ge1\) 都成立 \(1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)。
基础步骤:
检查 \(n=1\):
\(1 = \frac{1\cdot2}{2} = 1\) ✔
归纳假设:
假设对 \(n=k\) 成立:\(1+2+3+\dots+k = \frac{k(k+1)}{2}\)。
归纳步骤:
证明对 \(n=k+1\):
\(1+2+\dots+k+(k+1)\)
根据归纳假设:\(1+2+\dots+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1)\)
提取公因式 \(k+1\):\(\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = (k+1)\left(\frac{k}{2} + 1\right)\)
\((k+1)\left(\frac{k}{2} + 1\right) = (k+1)\left(\frac{k+2}{2}\right) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}\)
这正是:\(\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\)。✔
练习 2 – 偶数之和
命题:对所有 \(n\ge1\) 都成立 \(2+4+6+\dots+2n = n(n+1)\)。
基础:
对 \(n=1\):\(2 = 1\cdot2\)。✔
归纳假设:
\(2+4+\dots+2k = k(k+1)\)。
步骤:
计算:\(2+4+\dots+2k+2(k+1)\)
根据假设:\(2+4+\dots+2k+2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1)\)
提取公因式 \(k+1\):\(k(k+1)+2(k+1) = (k+1)(k+2)\)
这正是 \((k+1)((k+1)+1)\)。✔
练习 3 – 平方和
命题:\(1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。
基础:
对 \(n=1\):\(1^2 = 1 = \frac{1\cdot2\cdot3}{6}\)。✔
归纳假设:
\(1^2+2^2+\dots+k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)。
步骤:
计算:\(1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2\)
根据假设:\(1^2+2^2+\dots+k^2+(k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2\)
提取公因式 \(k+1\):\((k+1)\left(\frac{k(2k+1)}{6} + (k+1)\right)\)
化为公分母:\((k+1)\left(\frac{k(2k+1) + 6(k+1)}{6}\right)\)
\(k(2k+1)+6(k+1)=2k^2+k+6k+6=2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)\)
因此:\((k+1)\cdot\frac{(k+2)(2k+3)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
这正是:\(\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}\)。✔
练习 4 – 不等式:\(2^n \ge n+1\)
命题:对所有 \(n\ge1\) 都成立 \(2^n \ge n+1\)。
基础:
\(n=1\):\(2^1 = 2 \ge 2 = 1+1\)。✔
归纳假设:
\(2^k \ge k+1\)。
步骤:
\(2^{k+1} = 2\cdot2^k \ge 2(k+1) = 2k+2\)
与 \(k+2\) 比较:\(2k+2 \ge k+2 \iff k \ge 0\) – 对所有 \(k\ge1\) 成立。✔
练习 5 – 不等式:\(3^n > n^2\)
命题:\(3^n > n^2\) 对所有 \(n\ge1\)。
基础:
\(n=1\):\(3^1=3>1=1^2\)。\(n=2\):\(9>4\)。✔
归纳假设:
假设 \(3^k>k^2\) 对 \(k\ge2\)。
步骤:
\(3^{k+1} = 3\cdot3^k > 3k^2\)
需要证明:\(3k^2 > (k+1)^2\)。
\(3k^2 - (k+1)^2 = 3k^2 - (k^2+2k+1) = 2k^2 - 2k - 1\)
对 \(k\ge2\) 该表达式为正(直接检查:对 \(k=2\) 得 \(8-4-1=3>0\),且仅增长)。因此 \(3^{k+1}>(k+1)^2\)。✔
练习 6 – 含阶乘的不等式:\(n!\ge2^{n-1}\)
命题:对所有 \(n\ge1\):\(n! \ge 2^{\,n-1}\)。
基础:
\(n=1\):\(1! = 1 \ge 2^0 = 1\)。✔
归纳假设:
\(k! \ge 2^{k-1}\)。
步骤:
\((k+1)! = (k+1)\cdot k! \ge (k+1)\cdot 2^{k-1}\)
需要证明:\((k+1)\cdot2^{k-1} \ge 2^k\)。
\((k+1)\cdot2^{k-1} \ge 2\cdot2^{k-1} \iff k+1 \ge 2\iff k\ge1\),这是成立的。✔
练习 7 – 数列:\(a_{n+1}=a_n+2\)
数列定义:\(a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2\)。命题:\(a_n=2n-1\)。
基础:
\(a_1=1\),右边:\(2\cdot1-1=1\)。✔
归纳假设:
\(a_k = 2k-1\)。
步骤:
\(a_{k+1}=a_k+2=(2k-1)+2=2k+1=2(k+1)-1\)。✔
练习 8 – 整除性:\(5^n-1\) 能被 4 整除
命题:对所有 \(n\ge1\) 数 \(5^n-1\) 能被 4 整除。
基础:
\(n=1\):\(5^1-1=4\) – 能被 4 整除。✔
假设:
\(5^k-1\) 能被 4 整除。
步骤:
\(5^{k+1}-1 = 5\cdot5^k-1\)
\(=5\cdot5^k-5+4 = 5(5^k-1)+4\)
根据假设 \(5^k-1\) 是 4 的倍数,所以 \(5(5^k-1)\) 加上 4 – 也是 4 的倍数。✔
练习 9 – 整除性:\(7^n-1\) 能被 6 整除
命题:对所有 \(n\ge1\) 数 \(7^n-1\) 能被 6 整除。
基础:
\(n=1\):\(7-1=6\)。✔
假设:
\(7^k-1\) 能被 6 整除。
步骤:
\(7^{k+1}-1 = 7\cdot7^k-1 = 7(7^k-1)+6\)
同样,\(7^k-1\) 是 6 的倍数,所以 \(7(7^k-1)+6\) 也是 6 的倍数。✔
练习 10 – 整除性:\(n^3+2n\) 能被 3 整除
命题:对所有 \(n\ge1\) 数 \(n^3+2n\) 能被 3 整除。
简便方法:按模 3 的余数检查。
- 如果 \(n\equiv0\pmod3\) – 显然表达式能被 3 整除。
- 如果 \(n\equiv1\pmod3\):\(n^3\equiv1\),\(2n\equiv2\),总和 \(\equiv0\)。
- 如果 \(n\equiv2\pmod3\):\(n^3\equiv8\equiv2\),\(2n\equiv4\equiv1\),总和 \(\equiv0\)。
因此 \(n^3+2n\) 能被 3 整除,对所有 \(n\) 都成立。✔