🔹 第一部分 – 基础难度练习(10 道)

1. 用归纳法证明:
   \[ 1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2} \]
2. 用归纳法证明:
   \[ 2+4+6+\dots+2n = n(n+1) \]
3. 用归纳法证明该和:
   \[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
4. 证明对所有 \(n\ge 1\):
   \[ 2^n \ge n+1 \]
5. 证明对所有 \(n\ge 1\):
   \[ 3^n > n^2 \]
6. 用归纳法证明:
   \[ n! \ge 2^{n-1} \]
7. 证明由下述定义的数列:
   \[ a_1 = 1,\qquad a_{n+1} = a_n + 2 \] 满足: \[ a_n = 2n - 1 \]
8. 证明对所有 n:
   \[ 5^n - 1 \text{ 能被 } 4 \text{ 整除 } \]
9. 证明对所有 n:
   \[ 7^n - 1 \text{ 能被 } 6 \text{ 整除 } \]
10. 证明对所有\(n\ge 1\):
    \[ n^3 + 2n \text{ 能被 } 3 \text{ 整除 } \]

🔸 第二部分 – 中等难度练习(10 道)

11. 证明该和:
    \[ 1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \dots + n(n+1) \] 等于:
    \[ \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \]
12. 用归纳法证明:
    \[ 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]
13. 证明对所有 \(n\ge 1\):
    \[ n! \le n^n \]
14. 证明对所有 \(n\ge 1\):
    \[ 2^{2n} - 1 \text{ 能被 } 3 \text{ 整除 } \]
15. 证明由下述定义的数列:
    \[ a_1 = 3,\qquad a_{n+1} = 2a_n + 1 \] 满足: \[ a_n = 2^{n+1} - 1 \]
16. 证明对所有\(n\ge2\):
    \[ \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} \]
17. 用归纳法证明该乘积:
    \[ (1+2+3+\dots+n)^2 \ge n^3 \] 对所有 \(n\ge1\) 都成立。
18. 证明不等式:
    \[ 3n + 2 < 2^n \] 对所有 \(n\ge5\)。
19. 证明对所有 \(n\ge 1\):
    \[ F_{n+2}F_n - F_{n+1}^2 = (-1)^n \] 其中 \(F_n\) 是斐波那契数。
20. 对所有 \(n\ge1\) 证明:
    \[ 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!} \]