✅ 完整解答 - 数学归纳法(10 道练习)
🔸 第二部分 – 中等难度练习的解答
练习 11 – 求和 \(k(k+1)\)
命题:\(1\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\)。
基础:
\(n=1\):\(1\cdot2=2\);右边:\(\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=2\)。✔
假设:
\(1\cdot2+\dots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}\)。
步骤:
添加下一项:\((k+1)(k+2)\)。
\(\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2)\)
提取公因式:\((k+1)(k+2)\left(\frac{k}{3}+1\right)\)
\((k+1)(k+2)\cdot\frac{k+3}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\)
这正是 \(n=k+1\) 时的公式。✔
练习 12 – 立方和
命题:\(1^3+2^3+\dots+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)。
基础:
\(n=1\):\(1^3 = 1 = \left(\frac{1\cdot2}{2}\right)^2\)。✔
假设:
\(1^3+\dots+k^3=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2\)。
步骤:
计算:\(1^3+\dots+k^3+(k+1)^3\)
根据假设:\(\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3\)
提取公因式 \((k+1)^2\):\((k+1)^2\left(\frac{k^2}{4} + (k+1)\right)\)
\((k+1)^2\left(\frac{k^2+4k+4}{4}\right) = (k+1)^2\cdot\frac{(k+2)^2}{4} = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2\)
这是 \(n=k+1\) 时的表达式。✔
练习 13 – 不等式:\(n!\le n^n\)
命题:对所有 \(n\ge1\) 都成立 \(n!\le n^n\)。
基础:
\(n=1\):\(1!=1\le1^1=1\)。✔
假设:
\(k!\le k^k\)。
步骤:
\((k+1)! = (k+1)\cdot k! \le (k+1)\cdot k^k\)
现在:\(k^k \le (k+1)^k\) 对所有 \(k\ge1\),因此:\((k+1)\cdot k^k \le (k+1)\cdot (k+1)^k = (k+1)^{k+1}\)。✔
练习 14 – 整除性:\(2^{2n}-1\) 能被 3 整除
命题:\(2^{2n}-1\) 能被 3 整除,对所有 \(n\ge1\)。
基础:
\(n=1\):\(2^{2}-1=3\)。✔
假设:
\(2^{2k}-1\) 能被 3 整除。
步骤:
\(2^{2(k+1)}-1=2^{2k+2}-1=4\cdot2^{2k}-1\)
\(=4\cdot2^{2k}-4+3 = 4(2^{2k}-1)+3\)
表达式 \(2^{2k}-1\) 是 3 的倍数;它的倍数加 3 – 也是 3 的倍数。✔
练习 15 – 数列:\(a_{n+1}=2a_n+1\)
数列:\(a_1=3,\ a_{n+1}=2a_n+1\)。命题:\(a_n=2^{n+1}-1\)。
基础:
\(n=1\):\(a_1=3\),右边:\(2^{2}-1=3\)。✔
假设:
\(a_k=2^{k+1}-1\)。
步骤:
\(a_{k+1}=2a_k+1 = 2(2^{k+1}-1)+1 = 2^{k+2}-2+1 = 2^{k+2}-1\)
这正是 \(2^{(k+1)+1}-1\)。✔
练习 16 – 伸缩级数:\(\sum\frac{1}{n(n+1)}\)
命题:\(\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}\)。
基础:
\(n=1\):左边:\(\frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{2}\);右边:\(\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)。✔
假设:
\(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}\)。
步骤:
添加一项:\(\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)。
\(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)}\)
化为公分母:\(\frac{n}{n+1} = \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)}\)
因此:\(\frac{n(n+2)}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}\)
\(n(n+2)+1 = n^2+2n+1=(n+1)^2\),因此:\(\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}\) – 这是 \(n+1\) 时的公式。✔
练习 17 – 不等式:\((1+\dots+n)^2 \ge n^3\)
命题:\(\big(1+2+\dots+n\big)^2 \ge n^3\) 对所有 \(n\ge1\)。
已知:\(1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)。
检验不等式:\(\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \ge n^3\)。
两边乘以 4:\(n^2(n+1)^2 \ge 4n^3\)
两边除以 \(n^2>0\):\((n+1)^2 \ge 4n\)
\(n^2+2n+1 \ge 4n \iff n^2-2n+1\ge0 \iff (n-1)^2\ge0\)
后者总是成立,因此不等式对所有 \(n\ge1\) 都成立。✔
练习 18 – 不等式:\(3n+2 < 2^n\) 对 \(n\ge5\)
基础:
\(n=5\):左边:\(3\cdot5+2=17\);右边:\(2^5=32\);因此 \(17<32\)。✔
假设:
\(3k+2 < 2^k\) 对 \(k\ge5\)。
步骤:
需要证明:\(3(k+1)+2 < 2^{k+1}\)。
左边:\(3(k+1)+2 = 3k+5 = (3k+2)+3\)
根据假设:\(3k+2 < 2^k\),因此:\(3k+5 < 2^k+3\)。
如果证明 \(2^k+3 \le 2^{k+1}\),就完成了:
\(2^{k+1}-2^k = 2^k\),因此只需 \(3\le2^k\) – 对 \(k\ge2\) 成立,当然对 \(k\ge5\) 也成立。✔
练习 19 – 斐波那契恒等式(教学说明)
恒等式:\(F_{n+2}F_n - F_{n+1}^2 = (-1)^n\)(卡西尼恒等式)在指标上较为微妙。
为了在课堂上使用它,建议:
- 选择 \(F_0,F_1\) 的精确定义,以便基础有效。
- 或者将其作为优秀学生归纳法探索的进阶例子展示。
由于对指标敏感,最好将其作为概念示例,而不是必考内容。
练习 20 – 奇数的乘积
命题:\(1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}\)。
基础:
\(n=1\):左边:\(1\);右边:\(\frac{2!}{2^1\cdot1!} = \frac{2}{2}=1\)。✔
归纳假设:
\(1\cdot3\cdot\dots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^n n!}\)。
步骤:
两边乘以 \(2(n+1)-1 = 2n+1\):
左边:\(1\cdot3\cdot\dots(2n-1)(2n+1)\) 是直到新项的乘积。
右边:\(\frac{(2n)!}{2^n n!}(2n+1)\)
目标是得到:\(\frac{(2n+2)!}{2^{n+1}(n+1)!}\)。
写为:\((2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!\),以及 \((n+1)!=(n+1)n!\)。
因此:\(\frac{(2n+2)!}{2^{n+1}(n+1)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{2^{n+1}(n+1)n!}\)
可以将 \((2n+2)\) 与 \(2(n+1)\) 约简,经过整理后恰好等于 \(\frac{(2n)!}{2^n n!}(2n+1)\)。
由此恒等式对 \(n+1\) 也成立。✔