不等式
学习页面:一元一次、"且"/"或"系统,以及一元二次
📚 不等号
两个数学表达式之间可能存在以下关系:
| 符号 | 含义 | 例子 |
|---|---|---|
| = | 等于 | \(3 + 2 = 5\) |
| ≠ | 不等于 | \(3 \neq 5\) |
| > | 大于 | \(7 > 3\) |
| < | 小于 | \(2 < 5\) |
| ≥ | 大于等于 | \(x \geq 3\) |
| ≤ | 小于等于 | \(x \leq 5\) |
⚠️ 非常重要的规则!
解不等式像解普通方程一样,除了一个区别:
乘以或除以负数时 - 不等号方向反转!
例子:
\(-2x > 6\)
除以 (-2),反向:
\(x < -3\)
📐 求解一元一次不等式
✏️ 例 1:求解 \(3x - 5 > 7\)
\(3x - 5 > 7\)
\(3x > 12\)
\(x > 4\)
✏️ 例 2:求解 \(-4x + 2 \leq 10\)
\(-4x + 2 \leq 10\)
\(-4x \leq 8\)
除以 (-4),反向:
\(x \geq -2\)
📏 在数轴上表示不等式
| 不等式 | 点 | 图 |
|---|---|---|
| \(x > a\) 或 \(x < a\) | 空心圆 ○ (不包括) |
|
| \(x \geq a\) 或 \(x \leq a\) | 实心圆 ● (包括) |
🔗 "且"系统(∩)
在"且"系统中,寻找两个条件的公共范围
x 必须同时满足两个条件
✏️ 例: \(x > 2\) 且 \(x < 5\)
答案:2 < x < 5
在两条线下方的部分
✏️ 另一个例子: \(x > 5\) 且 \(x < 2\)
答案:无解(∅)
没有公共部分
⚡ "或"系统(∪)
在"或"系统中,寻找满足至少一个条件的 x
x 必须满足一个条件或另一个(或两个都满足)
✏️ 例: \(x > 5\) 或 \(x < 2\)
答案:x < 2 或 x > 5
在至少一条线下方的所有部分
⚖️ 比较:"且"与"或"
| "且"(∩) | "或"(∪) | |
|---|---|---|
| 含义 | 两个条件同时 | 至少一个条件 |
| 寻找什么 | 交集(公共) | 并集(全部) |
| 在图上 | 在两条线下 | 在至少一条线下 |
📈 一元二次不等式
一元二次不等式是以下形式的不等式:
解法基于抛物线图象!
📝 一元二次不等式的求解步骤
步骤 1:求解方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)
找到方程的根(与 x 轴的交点)
步骤 2:画出抛物线
a > 0
开口向上 😊
∪
a < 0
开口向下 😢
∩
步骤 3:按不等式类型求解
📊 不等式类型与解
| 不等式 | 问题 | 寻找什么 |
|---|---|---|
| \(f(x) > 0\) | 抛物线在 x 轴上方哪里? | 正值区间 |
| \(f(x) \geq 0\) | 抛物线在 x 轴上方或上面哪里? | 正值 + 根 |
| \(f(x) < 0\) | 抛物线在 x 轴下方哪里? | 负值区间 |
| \(f(x) \leq 0\) | 抛物线在 x 轴下方或上面哪里? | 负值 + 根 |
✏️ 详细例子
求解: \(x^2 - 4x - 5 > 0\)
步骤 1:求解方程
\(x^2 - 4x - 5 = 0\)
\((x-5)(x+1) = 0\)
\(x_1 = 5, \quad x_2 = -1\)
步骤 2:画出抛物线
a = 1 > 0 → 开口向上的抛物线
与 x 轴的交点:(-1, 0) 和 (5, 0)
步骤 3:求答案
寻找抛物线在 x 轴上方的位置(正值区间)
答案:x < -1 或 x > 5
✏️ 另一个例子
求解: \(x^2 - 4x - 5 \leq 0\)
与之前一样的抛物线,但现在寻找它在 x 轴下方或上面的位置
答案:-1 ≤ x ≤ 5
实心圆,因为有 ≤(包括等号)
💡 备考技巧
乘除负数:反向!
"且":交集(公共)
"或":并集(全部)
一元二次:总是画抛物线!
📝 总结
一元一次:像方程一样求解,记得反向!
"且" = 交集 | "或" = 并集
一元二次:画抛物线,找正值/负值区间