∫ 面积累积函数
积分与变化面积之间的联系
🎯 什么是面积累积函数?
面积累积函数是一种衡量当上限变化时,在另一个函数图像下方累积面积的函数。
\(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\)
💡 用文字表达:F(x) 衡量从 a 点到 x 点 f 图像下方累积了多少面积。
📊 直观解释
F(x) = 着色区域的面积(从 a 到 x)
x 增大 → 面积增大 → F(x) 增大
⭐ 微积分基本定理
如果 \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\),那么:
\(F'(x) = f(x)\)
💡 简单说:
面积累积函数的导数就是它累积下方的那个函数!
🔄 二者关系:
积分和求导是互逆的运算 - 求导"抵消"了积分!
✏️ 例 1:基础计算
已知:\(F(x) = \int_1^x (3t^2 + 2t) \, dt\)
求:\(F'(x)\)
解答:
由微积分基本定理:
\(F'(x) = 3x^2 + 2x\)
答案:\(F'(x) = 3x^2 + 2x\)
💡 注意:只需把积分内函数中的 t 换成 x!
🔗 当上限是 x 的函数时
如果 \(F(x) = \int_a^{g(x)} f(t) \, dt\),那么:
\(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)\)
💡 用文字表达:
- 把上限代入函数中:\(f(g(x))\)
- 乘以上限的导数:\(g'(x)\)
✏️ 例 2:函数作为上限
已知:\(F(x) = \int_0^{x^2} \sin t \, dt\)
求:\(F'(x)\)
解答:
上限为 \(g(x) = x^2\)
它的导数:\(g'(x) = 2x\)
由公式:
\(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)\)
\(F'(x) = \sin(x^2) \cdot 2x\)
答案:\(F'(x) = 2x\sin(x^2)\)
✏️ 例 3:复杂上限
已知:\(F(x) = \int_1^{e^x} \frac{1}{t} \, dt\)
求:\(F'(x)\)
解答:
上限:\(g(x) = e^x\)
它的导数:\(g'(x) = e^x\)
积分内函数:\(f(t) = \frac{1}{t}\)
\(f(g(x)) = f(e^x) = \frac{1}{e^x}\)
由公式:
\(F'(x) = \frac{1}{e^x} \cdot e^x = 1\)
答案:\(F'(x) = 1\)
⚠️ 当下限可变时
如果 \(F(x) = \int_{h(x)}^a f(t) \, dt\),那么:
\(F'(x) = -f(h(x)) \cdot h'(x)\)
💡 注意负号!因为下限增大时,面积减小。
🔄 当上下限都可变时
如果 \(F(x) = \int_{h(x)}^{g(x)} f(t) \, dt\),那么:
\(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) - f(h(x)) \cdot h'(x)\)
💡 记忆:上限取正号,下限取负号!
✏️ 例 4:上下限都可变
已知:\(F(x) = \int_x^{x^2} t^3 \, dt\)
求:\(F'(x)\)
解答:
上限:\(g(x) = x^2\),\(g'(x) = 2x\)
下限:\(h(x) = x\),\(h'(x) = 1\)
函数:\(f(t) = t^3\)
\(f(g(x)) = (x^2)^3 = x^6\)
\(f(h(x)) = x^3\)
由公式:
\(F'(x) = x^6 \cdot 2x - x^3 \cdot 1\)
\(F'(x) = 2x^7 - x^3\)
答案:\(F'(x) = 2x^7 - x^3\)
📊 求面积累积函数的值
例:已知 \(F(x) = \int_0^x (t^2 + 1) \, dt\)
计算:\(F(0)\)、\(F(2)\)、\(F(-1)\)
\(F(0)\):
\(F(0) = \int_0^0 (t^2 + 1) \, dt = 0\)
(上下限相同时,面积为 0)
\(F(2)\):
\(F(2) = \int_0^2 (t^2 + 1) \, dt = \Big[ \frac{t^3}{3} + t \Big]_0^2\)
\(= \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3}\)
\(F(-1)\):
\(F(-1) = \int_0^{-1} (t^2 + 1) \, dt = \Big[ \frac{t^3}{3} + t \Big]_0^{-1}\)
\(= \left( \frac{-1}{3} - 1 \right) - 0 = -\frac{4}{3}\)
📈 求面积累积函数的极值
例:已知 \(F(x) = \int_0^x (t^2 - 4) \, dt\)
求 F 的极值点。
解答:
步骤 1:求导数
\(F'(x) = x^2 - 4\)
步骤 2:令导数等于 0
\(x^2 - 4 = 0\)
\(x = \pm 2\)
步骤 3:判断类型(二阶导数或符号表)
\(F''(x) = 2x\)
\(F''(2) = 4 > 0\) → \(x = 2\) 处为极小值
\(F''(-2) = -4 < 0\) → \(x = -2\) 处为极大值
答案:\(x = -2\) 处极大值,\(x = 2\) 处极小值
💡 重要发现:F 的极值点恰好是 f 的零点!
📋 公式总表
| 面积累积函数 | 导数 |
|---|---|
| \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) | \(F'(x) = f(x)\) |
| \(F(x) = \int_a^{g(x)} f(t) \, dt\) | \(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)\) |
| \(F(x) = \int_{h(x)}^a f(t) \, dt\) | \(F'(x) = -f(h(x)) \cdot h'(x)\) |
| \(F(x) = \int_{h(x)}^{g(x)} f(t) \, dt\) | \(F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) - f(h(x)) \cdot h'(x)\) |
💡 考试提示
1️⃣ F(a) = 0
上下限相同时,面积为 0
2️⃣ 别忘了 g'(x)
如果上限是函数 - 要乘以它的导数!
3️⃣ 下限带负号
下限可变 → 表达式前加负号
4️⃣ F 的极值
F 的极值点是 f 的零点
📝 总结
\(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt \implies F'(x) = f(x)\)
基本定理:面积累积函数的导数等于积分内的函数
可变积分限 → 乘以它的导数