抛物线、切线与法线 (Tangent & Normal)
本页将学习如何求抛物线的切线与法线 (Normal)。我们使用标准抛物线 \( y^2 = 2px \),这是学习中常用的标准形式。
1. 基本抛物线
抛物线: \( y^2 = 2px \) 向右开口。
抛物线上任一点必须满足: \( y_0^2 = 2p x_0 \)。
2. 已知点求抛物线的切线
若点 \( (x_0 , y_0) \) 在抛物线上 — 切线方程为:
\( y y_0 = p(x + x_0) \)
这是 \( y^2 = 2px \) 形式抛物线最重要的切线公式。
3. 切线斜率
若需求切线斜率(题目特别要求),可分离 \( y \) 后求导:
\( y = \sqrt{2px} \) 或 \( y = -\sqrt{2px} \),但更优雅的方法是对原方程进行隐函数求导:
对 \( y^2 = 2px \) 求导:
\( 2y \cdot y' = 2p \)
因此: \( y' = \frac{p}{y} \)
在点 \( (x_0,y_0) \) 处:
\( m = \frac{p}{y_0} \)
4. 法线 – Normal
法线是与切线垂直的直线。若切线斜率为 \( m \),则法线斜率为:
\( m_n = -\frac{1}{m} \)
过点 \( (x_0,y_0) \) 的法线方程:
\( y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0) \)
5. 完整例题
对点 \( (2p , 2\sqrt{p}) \),求其在抛物线 \( y^2 = 2px \) 上的切线与法线。
步骤 1 – 验证点在抛物线上:
\( (2\sqrt{p})^2 = 4p = 2p \cdot 2 \)
步骤 2 – 切线:
\( y y_0 = p(x + x_0) \)
代入:
\( y (2\sqrt{p}) = p(x + 2p) \)
切线方程: \( y = \frac{p}{2\sqrt{p}}x + p\sqrt{p} \)
步骤 3 – 切线斜率:
\( m = \frac{p}{2\sqrt{p}} \)
步骤 4 – 法线:
法线斜率: \( m_n = -\frac{1}{m} = -\frac{2\sqrt{p}}{p} \)
法线方程: \( y - 2\sqrt{p} = -\frac{2\sqrt{p}}{p}(x - 2p) \)
6. 结论
- 抛物线 \( y^2 = 2px \) 的切线可由公式 \( y y_0 = p(x + x_0) \) 直接得出。
- 切线斜率: \( m = \frac{p}{y_0} \)。
- 法线斜率: \( m_n = -\frac{1}{m} \)。
- 法线与切线过同一切点。