🎓 GeoGebra 学生活动 – 抛物线、切线、法线与焦点
🎯 活动目标
通过引导探究,理解抛物线与切线、切线之法线、焦点的关系,以及在图形上点的运动所代表的几何意义。
🔍 探究活动:抛物线、切线、法线及其相互关系
本活动将研究抛物线的切线,以及抛物线上动点、切线斜率、切线之法线与焦点之间的关系。
使用的抛物线为: \( y^2 = 2px \),其中 \( p \) 为可调参数。
📌 第一部分:识别关键要素
- 拖动抛物线上的点 A,观察其位置如何变化。
- 找出抛物线焦点 F 的位置,并解释其几何意义。
📌 第二部分:抛物线的切线
- 注意点 A 处的切线。写出切线斜率: \( m = \frac{p}{y_A} \)
- 拖动点 A 并观察:当 \( y_A \) 较小时切线斜率如何变化?较大时呢?
- 得出结论:抛物线上点的位置与切线斜率之间有何关系?
📌 第三部分:切线之法线
- 活动中也显示了切线之法线。注意法线斜率为 \( m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m} \)
- 请自行验证切线与法线是否始终垂直,并解释原因。
📌 第四部分:从焦点出发的射线
- 观察连接焦点 F 与点 A 的连线。这是一条射向抛物线的"光线"。
- 检查光线在切线上的入射角。当拖动 A 时,它如何变化?
- 结论:光线是否沿切线方向"反射"回相同方向?
📌 第五部分:总体结论
- 用自己的话解释关于抛物线切线我们学到了什么。
- 焦点、射线与切线之间的关系是什么?
- 法线在所形成的角度三角形中起什么作用?
📎 GeoGebra 活动文件
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