预备分析:从图象理解
第 1 页:读图基础
🎯 本页将学习什么?
我们将学习从函数图象中读取基本信息:
- 定义域 —— 函数在哪些 x 值上有定义
- 值域 —— 函数取哪些 y 值
- 与坐标轴的交点
- 函数的符号 —— 在哪里为正/为负
📊 例图
函数 f(x) 的图象
📐 定义域 (Domain)
定义域 = 图象存在的所有 x 值
💡 怎么找?
从"侧面"观察图象(从左到右)并检查:
图象从哪里开始?到哪里结束?
✏️ 在我们的图象中:
图象从 x = -3 到 x = 3 存在(可能继续延伸……)
定义域:\([-3, 3]\) 或 \(-3 \leq x \leq 3\)
📝 常用记号:
- [a, b] —— 闭区间(包含 a 和 b)
- (a, b) —— 开区间(不包含 a 和 b)
- [a, b) —— 左闭右开
- ℝ 或 \((-\infty, \infty)\) —— 所有实数
📐 值域 (Range)
值域 = 图象取得的所有 y 值
💡 怎么找?
从"下往上"观察图象并检查:
最低值是多少?最高值是多少?
✏️ 在我们的图象中:
最高值:y = 3(在顶点)
最低值:y = -2(在两端)
值域:\([-2, 3]\) 或 \(-2 \leq y \leq 3\)
✖️ 与坐标轴的交点
与 x 轴的交点
使 y = 0 的点
= 图象"接触" x 轴的位置
也称为:根 / 零点
在我们的图象中:(-2, 0) 和 (2, 0)
与 y 轴的交点
使 x = 0 的点
= 图象与 y 轴的交点
至多:一个点!
在我们的图象中:(0, 3)
➕➖ 函数的符号
函数的符号 = y 值是正的还是负的
f(x) > 0
函数为正
= 图象在 x 轴上方
f(x) < 0
函数为负
= 图象在 x 轴下方
✏️ 在我们的图象中:
f(x) > 0 当 \(-2 < x < 2\)
f(x) < 0 当 \(x < -2\) 或 \(x > 2\)
f(x) = 0 当 \(x = -2\) 或 \(x = 2\)
📋 总结 —— 从图象中读取什么?
| 概念 | 问题 | 怎么找? |
|---|---|---|
| 定义域 | 在哪些 x 上图象存在? | 从左往右看 |
| 值域 | 取到哪些 y 值? | 从下往上看 |
| 与 x 的交点 | y = 0 在哪里? | x 轴上的点 |
| 与 y 的交点 | f(0) 等于多少? | y 轴上的点 |
| 符号 | 哪里 +?哪里 -? | x 轴上方/下方 |
📝 总结
定义域 = x 值(左-右)
值域 = y 值(下-上)
与 x 的交点 = 根(y=0)| 与 y 的交点 = f(0)
符号:x 轴上方 = 正,下方 = 负