预备分析:从图象理解
第 3 页:极值点
🎯 什么是极值点?
极值点是函数"改变方向"的点:
- 从递增变为递减(= 极大值)
- 从递减变为递增(= 极小值)
💡 想象一下:在山间行走 —— 极值点就是山峰或山谷!
🏔️ 极大值点
函数先递增 ↗ 再递减 ↘
= 图象中的"山峰"
✏️ 在极大值点:
y 值是该点附近最高的
🏞️ 极小值点
函数先递减 ↘ 再递增 ↗
= 图象中的"山谷"
✏️ 在极小值点:
y 值是该点附近最低的
🌍 局部与全局
局部 (Local)
邻近范围内最高/最低
像小山丘的峰顶
全局 (Global)
整个定义域内最高/最低
像山脉中最高的峰
🔍 如何从图象识别极值点?
💡 寻找图象"反转"的点:
| 类型 | 之前 | 之后 | 形状 |
|---|---|---|---|
| 极大值 | 递增 ↗ | 递减 ↘ | ⌒(山峰) |
| 极小值 | 递减 ↘ | 递增 ↗ | ⌣(山谷) |
📐 如何记录极值点?
极值点是图象上的一个点,所以它有两个值:
x 值
"在哪里"是极值点
也称为:极值点位置
y 值
"有多大"是该处函数的值
也称为:极值
✏️ 例子:
极大值点:\((2, 5)\)
含义:在 \(x = 2\) 处有极大值,且极大值为 \(y = 5\)
✏️ 完整例子
极值点:
局部极小值:在点 \((-1, -1)\)
局部极大值:在点 \((1, 2)\)
极值:
极小值:y = -1
极大值:y = 2
📝 总结
极大值 ⌒ = 递增 → 递减(山峰)
极小值 ⌣ = 递减 → 递增(山谷)
局部 = 邻近最值 | 全局 = 整个定义域最值