现在我们将综合运用所有学过的工具,从图象中读取关于函数的全部信息!

1. 定义域 - 函数在哪些 x 值上有定义?
2. 值域 - 函数取得哪些 y 值?
3. 与 x 轴交点 - 哪里 y = 0?(零点)
4. 与 y 轴交点 - f(0) 等于多少?
5. 函数的符号 - 哪里为正?哪里为负?
6. 单调区间 - 哪里递增?哪里递减?
7. 极值点 - 哪里有极大值/极小值?
8. 垂直渐近线 - 图象在哪里"发疯"?
9. 水平渐近线 - 图象在端部趋向何处?

1. 定义域

图象在所有 x 上存在,除了 x = -1(那里有垂直渐近线)

定义域: \(x \neq -1\) 或 \((-\infty, -1) \cup (-1, \infty)\)

2. 值域

图象取得所有 y 值,除了 y = 1(那里有水平渐近线)

值域: \(y \neq 1\) 或 \((-\infty, 1) \cup (1, \infty)\)

3. 与坐标轴的交点

与 x 轴交点:图象在点 \((0, 0)\) 与 x 轴相交

与 y 轴交点:图象在点 \((0, 0)\) 与 y 轴相交

在本例中,两个交点是同一个点 —— 原点!

4. 函数的符号

f(x) > 0:当 \(x < -1\)

f(x) < 0:当 \(-1 < x < 0\)

f(x) > 0:当 \(x > 0\)(在渐近线 y=1 之下但在 x 轴之上)

f(x) = 0:当 \(x = 0\)

5. 单调区间

递增:在整个定义域上!(在区间 \(x < -1\) 和区间 \(x > -1\))

在它有定义的每个区间内,函数单调递增。

6. 极值点

没有极值点!

函数不改变方向 —— 它始终在递增。

7. 渐近线

垂直渐近线:\(x = -1\)

水平渐近线:\(y = 1\)

当 x → -1 从右侧:y → -∞

当 x → -1 从左侧:y → +∞

当 x → ±∞:y → 1