特殊函数
第 2 页:抛物线族 - 平移与变换
🎯 本页学习内容?
如何变换基本抛物线 \(y = x^2\):
- 上/下平移
- 左/右平移
- 伸缩(拉伸或压缩)
- 翻转(开口向下)
⬆️⬇️ 上下平移:\(y = x^2 + k\)
k > 0 → 抛物线向上平移 k 个单位
k < 0 → 抛物线向下平移 |k| 个单位
✏️ 例子:
\(y = x^2 + 3\) → 顶点位于 (0, 3)
\(y = x^2 - 5\) → 顶点位于 (0, -5)
⬅️➡️ 左右平移:\(y = (x-h)^2\)
⚠️ 注意 —— 这与直觉相反!
\(y = (x-h)^2\) → 抛物线向右平移 h 个单位
\(y = (x+h)^2\) → 抛物线向左平移 h 个单位
💡 记忆诀窍:
顶点位于使括号为零的 x 处!
\(y = (x-3)^2\) → 当 x = 3 时括号为零 → 顶点位于 (3, 0)
\(y = (x+4)^2\) → 当 x = -4 时括号为零 → 顶点位于 (-4, 0)
🔀 组合:\(y = (x-h)^2 + k\)
顶点位于点 (h, k)
✏️ 例子:
\(y = (x-3)^2 + 2\) → 顶点位于 (3, 2)
\(y = (x+1)^2 - 4\) → 顶点位于 (-1, -4)
\(y = (x-5)^2 + 1\) → 顶点位于 (5, 1)
↕️ 拉伸与压缩:\(y = ax^2\)
|a| > 1
抛物线更窄
更"陡峭"
|a| < 1
抛物线更宽
更"平缓"
🔄 翻转:\(y = -x^2\)
a < 0 → 抛物线开口向下!
当 a 为负时:
- 抛物线翻转 —— 开口向下
- 顶点为极大值点(而非极小值)
- 值域:\((-\infty, k]\)
⭐ 一般形式:\(y = a(x-h)^2 + k\)
| 参数 | 含义 |
|---|---|
| a | 方向与宽度(a>0 向上,a<0 向下) |
| h | 水平平移(顶点的 x 坐标) |
| k | 垂直平移(顶点的 y 坐标) |
✏️ 例子: \(y = -2(x-3)^2 + 5\)
- a = -2 → 开口向下,且较窄
- h = 3 → 顶点位于 x = 3
- k = 5 → 顶点位于 y = 5
- 顶点:(3, 5) —— 极大值点!
📝 总结
\(y = a(x-h)^2 + k\)
顶点:(h, k) | 对称轴:x = h
a > 0 → 开口向上 😊 | a < 0 → 开口向下 😞
|a| 大 → 窄 | |a| 小 → 宽