特殊函数
第 3 页:平方根函数 - \(y = \sqrt{x}\)
🎯 什么是平方根?
\(\sqrt{x}\) 是这样的数:把它平方后得到 x。
例子:
\(\sqrt{9} = 3\) 因为 \(3^2 = 9\)
\(\sqrt{16} = 4\) 因为 \(4^2 = 16\)
\(\sqrt{2} \approx 1.41\)
⚠️ 重要:不能对负数开平方根!
\(\sqrt{-4}\) 在实数范围内没有定义
📊 \(y = \sqrt{x}\) 的图象
📋 数值表
| x | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sqrt{x}\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
💡 注意:根号增长得很慢!
为了让根号增加 1,x 需要增加得多得多。
⭐ 平方根函数的性质
| 性质 | 值 |
|---|---|
| 定义域 | \([0, \infty)\)(仅非负数!) |
| 值域 | \([0, \infty)\) |
| 起始点 | (0, 0) |
| 单调性 | 在整个定义域上递增 |
| 符号 | \(f(x) \geq 0\) 恒成立 |
| 增长速率 | 缓慢(远离 x 轴的速度慢) |
🔗 与抛物线的关系
平方根函数是抛物线的反函数!
\(y = x^2\) 与 \(y = \sqrt{x}\) 的图象彼此关于直线 y = x 对称
⚠️ 定义域限制
规则:根号下的表达式必须为非负数(≥ 0)
✏️ 求定义域的例子:
\(y = \sqrt{x-3}\)
条件:\(x - 3 \geq 0\)
定义域:\(x \geq 3\)
\(y = \sqrt{5-x}\)
条件:\(5 - x \geq 0\)
定义域:\(x \leq 5\)
\(y = \sqrt{2x+6}\)
条件:\(2x + 6 \geq 0\) → \(x \geq -3\)
定义域:\(x \geq -3\)
📝 总结
\(y = \sqrt{x}\) - 仅在 x ≥ 0 时有定义
从 (0,0) 开始,缓慢上升
定义域:\([0, \infty)\) | 值域:\([0, \infty)\)
\(y = x^2\) 的反函数