特殊函数
第 4 页:平方根族 - 平移与变换
🎯 本页学习内容?
如何变换基本平方根函数 \(y = \sqrt{x}\):
- 上/下平移
- 左/右平移
- 翻转(反射)
⬆️⬇️ 上下平移:\(y = \sqrt{x} + k\)
k > 0 → 图象向上平移
k < 0 → 图象向下平移
✏️ 例子:
\(y = \sqrt{x} + 3\) → 从 (0, 3) 开始
\(y = \sqrt{x} - 1\) → 从 (0, -1) 开始
定义域不变!仍为 \(x \geq 0\)
⬅️➡️ 左右平移:\(y = \sqrt{x-h}\)
⚠️ 与抛物线一样 —— 规则相反!
\(y = \sqrt{x-h}\) → 图象向右平移 h
\(y = \sqrt{x+h}\) → 图象向左平移 h
💡 重要 —— 定义域改变!
\(y = \sqrt{x-2}\) → 定义域:\(x \geq 2\)
\(y = \sqrt{x+3}\) → 定义域:\(x \geq -3\)
🔀 组合:\(y = \sqrt{x-h} + k\)
起始点:(h, k)
✏️ 例子:
\(y = \sqrt{x-3} + 2\)
- 起始点:(3, 2)
- 定义域:\(x \geq 3\)
- 值域:\(y \geq 2\)
\(y = \sqrt{x+1} - 4\)
- 起始点:(-1, -4)
- 定义域:\(x \geq -1\)
- 值域:\(y \geq -4\)
🔄 反射
\(y = -\sqrt{x}\)
关于 x 轴反射
图象下降而非上升
定义域:x ≥ 0
\(y = \sqrt{-x}\)
关于 y 轴反射
图象向左延伸
定义域:x ≤ 0
📋 汇总表 - 平方根族
| 函数 | 定义域 | 起'点 | 方向 |
|---|---|---|---|
| \(\sqrt{x}\) | x ≥ 0 | (0, 0) | 右上 |
| \(\sqrt{x-3}\) | x ≥ 3 | (3, 0) | 右上 |
| \(\sqrt{x}+2\) | x ≥ 0 | (0, 2) | 右上 |
| \(-\sqrt{x}\) | x ≥ 0 | (0, 0) | 右下 |
| \(\sqrt{-x}\) | x ≤ 0 | (0, 0) | 左上 |
📝 总结
\(y = \sqrt{x-h} + k\) → 从 (h, k) 开始
定义域始终:根号下的表达式 ≥ 0
外面加负号 → 下降 | 里面加负号 → 向左延伸