特殊函数
第 5 页:倒数函数 - \(y = \frac{1}{x}\)
🎯 什么是倒数函数?
\(y = \frac{1}{x}\) 给出 x 的倒数。
例子:
\(\frac{1}{2} = 0.5\) | \(\frac{1}{4} = 0.25\) | \(\frac{1}{0.5} = 2\)
⚠️ 不能除以零!
\(\frac{1}{0}\) 没有定义!
📊 \(y = \frac{1}{x}\) 的图象 - 双曲线
该图象称为:双曲线
它有两个独立的分支 —— 在第一象限和第三象限
📋 数值表
| x | -4 | -2 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\frac{1}{x}\) | -0.25 | -0.5 | -1 | -2 | ❌ | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 |
⭐ 倒数函数的性质
| 性质 | 值 |
|---|---|
| 定义域 | \(x \neq 0\) |
| 值域 | \(y \neq 0\) |
| 垂直渐近线 | x = 0(y 轴) |
| 水平渐近线 | y = 0(x 轴) |
| 与坐标轴的交点 | 无!(不与任何轴相交) |
| 单调性 | 在每个区间上递减 |
➕➖ 函数的符号
x > 0
\(\frac{1}{x} > 0\)
正数除以正数 = 正数
x < 0
\(\frac{1}{x} < 0\)
正数除以负数 = 负数
💡 简而言之:函数保留 x 的符号!
🔍 特殊行为
当 x 趋近于零时:
- 从右侧(x → 0⁺):函数趋于 +∞
- 从左侧(x → 0⁻):函数趋于 -∞
当 x 趋于无穷时:
- 当 x → +∞:函数趋近于 0(从上方)
- 当 x → -∞:函数趋近于 0(从下方)
💡 直观理解:
1 除以非常小的数 = 非常大的数
1 除以非常大的数 = 非常小的数(接近 0)
🔄 对称性
函数 \(y = \frac{1}{x}\) 是奇函数:
\(f(-x) = -f(x)\)
✏️ 例子:
\(f(2) = \frac{1}{2} = 0.5\)
\(f(-2) = \frac{1}{-2} = -0.5 = -f(2)\) ✓
几何意义:图象关于坐标原点对称(即点 (0,0))
📝 总结
\(y = \frac{1}{x}\) - 双曲线
定义域:x ≠ 0 | 值域:y ≠ 0
渐近线:x = 0(垂直)、y = 0(水平)
在每个区间上递减 | 关于原点对称