特殊函数
第 6 页:从 \(f(x)\) 到 \(\frac{1}{f(x)}\) 的变换
🎯 本页学习内容?
如果有函数 f(x),那么 \(\frac{1}{f(x)}\) 的图象长什么样?
我们将学习规则来帮助绘制新图象!
⭐ 重要的规则
规则 1:当 f(x) = 1 或 f(x) = -1
\(\frac{1}{1} = 1\) 和 \(\frac{1}{-1} = -1\)
这些点保持不变!
规则 2:当 f(x) = 0(零点)
\(\frac{1}{0}\) = 未定义!
形成垂直渐近线!
规则 3:|f(x)| > 1(大于 1)
若 f(x) 大 → \(\frac{1}{f(x)}\) 小
图象向 x 轴方向"收缩"
规则 4:|f(x)| < 1(小于 1)
若 f(x) 小 → \(\frac{1}{f(x)}\) 大
图象远离 x 轴"膨胀"
规则 5:符号保持不变!
f(x) > 0 → \(\frac{1}{f(x)}\) > 0
f(x) < 0 → \(\frac{1}{f(x)}\) < 0
规则 6:单调性反转!
f(x) 递增 → \(\frac{1}{f(x)}\) 递减
f(x) 递减 → \(\frac{1}{f(x)}\) 递增
📋 汇总表
| 如果 f(x)... | 那么 1/f(x)... |
|---|---|
| = 0 | 未定义(垂直渐近线) |
| = 1 | = 1(不动点) |
| = -1 | = -1(不动点) |
| 大(> 1) | 小(在 0 与 1 之间) |
| 小(在 0 与 1 之间) | 大(> 1) |
| → +∞ | → 0(水平渐近线) |
| 递增 | 递减 |
✏️ 例 1:从 \(f(x) = x\) 到 \(\frac{1}{x}\)
发生了什么:
- f(0) = 0 → x = 0 处有垂直渐近线
- f(1) = 1 → 点 (1,1) 保持不变
- f(-1) = -1 → 点 (-1,-1) 保持不变
- f(x) 递增 → 1/f(x) 递减
✏️ 例 2:从 \(f(x) = x^2\) 到 \(\frac{1}{x^2}\)
发生了什么:
- f(0) = 0 → x = 0 处有垂直渐近线
- f(1) = 1 与 f(-1) = 1 → 点 (±1, 1) 保持不变
- 当 |x| 大时,f(x) 大 → 1/f(x) 小(接近 0)
- 函数 1/x² 始终为正!(因为 x² 始终为正)
📝 绘制 1/f(x) 的步骤
- 找出 f(x) 的零点 —— 那里将有垂直渐近线
- 找出 f(x) = 1 和 f(x) = -1 的位置 —— 这些是不动点
- 检查符号 —— 符号保持不变!
- 反转单调性 —— 递增 ↔ 递减
- 当 f 大时 → 1/f 小(反之亦然)
- 检查在无穷处的行为 —— 是否有水平渐近线?
📝 总结
f(x) = 0 → 垂直渐近线
f(x) = ±1 → 不动点
符号保持不变,单调性反转
大 ↔ 小