特殊函数
第 7 页:绝对值函数 - \(y = |x|\)
🎯 什么是绝对值?
一个数的绝对值是它到零的距离 —— 始终为正!
\(|x| = \begin{cases} x & \text{若 } x \geq 0 \\ -x & \text{若 } x < 0 \end{cases}\)
✏️ 例子:
\(|5| = 5\) | \(|-5| = 5\) | \(|0| = 0\)
\(|-3.7| = 3.7\) | \(|2-8| = |-6| = 6\)
📊 \(y = |x|\) 的图象
图象形状像字母 V!
⭐ 绝对值函数的性质
| 性质 | 值 |
|---|---|
| 定义域 | ℝ(全体实数) |
| 值域 | \([0, \infty)\) |
| 顶点 | (0, 0) - 最小值点 |
| 对称轴 | x = 0(y 轴) |
| 符号 | \(|x| \geq 0\) 恒成立! |
📈📉 单调性
递减 ↘
\(x < 0\)
在左半部分
递增 ↗
\(x > 0\)
在右半部分
💡 与抛物线完全一样!只是 V 形代替 U 形
🔀 平移:\(y = |x-h| + k\)
顶点位于点 (h, k)
和抛物线的规则一样!
✏️ 例子:
\(y = |x-3| + 2\) → 顶点位于 (3, 2)
\(y = |x+1| - 4\) → 顶点位于 (-1, -4)
🔄 翻转:\(y = -|x|\)
\(y = -|x|\) → 倒 V 形(∧)
顶点变为最大值点!
💡 常见应用
1. 数轴上两点之间的距离:
a 与 b 之间的距离为 \(|a - b|\)
例子:3 与 (-2) 之间的距离为 \(|3-(-2)| = |5| = 5\)
2. 含绝对值的方程:
\(|x| = 3\) → \(x = 3\) 或 \(x = -3\)
\(|x-2| = 5\) → \(x-2 = 5\) 或 \(x-2 = -5\) → \(x = 7\) 或 \(x = -3\)
3. 含绝对值的不等式:
\(|x| < 3\) → \(-3 < x < 3\)
\(|x| > 3\) → \(x > 3\) 或 \(x < -3\)
📝 总结
\(y = |x|\) - V 形
定义域:ℝ | 值域:\([0, \infty)\)
顶点位于 (0,0),关于 y 轴对称
\(y = |x-h| + k\) → 顶点位于 (h, k)