🎲 概率树示例 - 不放回
⚠️ 关键区别:不放回 = 每次抽取后概率会改变!
📊 比较:有放回 vs 不放回
袋中有 3 个红球 和 2 个蓝球(共 5 个)。
问题:抽出 2 个红球的概率是多少?
问题:抽出 2 个红球的概率是多少?
✅ 有放回
P(红) = 3/5 始终如此
P(红,红) = 3/5 × 3/5 = 9/25
概率不变
⚠️ 不放回
P(红₁) = 3/5
P(红₂|红₁) = 2/4(4 个中剩 2 个红球)
P(红,红) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10
🍃 第 2 级 - 两次抽取不放回
袋中有 3 个红球 和 2 个蓝球。
抽取 2 个球,不放回。
抽取 2 个球,不放回。
注意概率的变化:
• 抽出 红色之后:P(红) = 2/4, P(蓝) = 2/4
• 抽出 蓝色之后:P(红) = 3/4, P(蓝) = 1/4
• 抽出 红色之后:P(红) = 2/4, P(蓝) = 2/4
• 抽出 蓝色之后:P(红) = 3/4, P(蓝) = 1/4
问题:两个球都是红色的概率是多少?
P(红,红) = 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10
📋 完整对照表(3 个红球,2 个蓝球)
| 结果 | 有放回 | 不放回 |
|---|---|---|
| 红,红 | 3/5 × 3/5 = 9/25 | 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10 |
| 红,蓝 | 3/5 × 2/5 = 6/25 | 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10 |
| 蓝,红 | 2/5 × 3/5 = 6/25 | 2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10 |
| 蓝,蓝 | 2/5 × 2/5 = 4/25 | 2/5 × 1/4 = 2/20 = 1/10 |
| 合计 | 25/25 = 1 ✓ | 20/20 = 1 ✓ |
📝 黄金法则 - 不放回
第一次抽取:P(红) = r/n
第二次抽取(红色之后):P(红|红) = (r-1)/(n-1)
第二次抽取(蓝色之后):P(红|蓝) = r/(n-1)
第三次抽取:根据之前抽到的继续递减!
第二次抽取(红色之后):P(红|红) = (r-1)/(n-1)
第二次抽取(蓝色之后):P(红|蓝) = r/(n-1)
第三次抽取:根据之前抽到的继续递减!
⚠️ 常见错误:像有放回情形那样用固定不变的概率来计算!