➗ 商的导数 - 商法则
如何对有理函数(分式)求导
🎯 为什么这很重要?
为了研究有理函数(求单调性、极值、凹凸性)- 我们需要对它求导!
分式函数有专门的求导法则 - 商法则。
⚠️ 注意:不能分别对分子分母求导!必须使用公式。
⭐ 商法则 - 公式
若 \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) 则:
\(f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)
其中 \(u\) = 分子,\(v\) = 分母
🎵 如何记忆? - "商法则口诀"
"分子的导数乘以分母
减去分子乘以分母的导数
全部除以分母的平方"
\(\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)
⚠️ 注意顺序!
是 \(u'v - uv'\) 而不是 \(uv' - u'v\)
顺序很重要!(与积法则不同)
✏️ 例 1 - 简单入门
求导: \(f(x) = \frac{x+1}{x-2}\)
步骤 1:识别 \(u\) 与 \(v\)
\(u = x + 1\) \(v = x - 2\)
步骤 2:分别求导
\(u' = 1\) \(v' = 1\)
步骤 3:代入公式
\(f'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\)
\(f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2}\)
步骤 4:化简分子
\(f'(x) = \frac{x - 2 - x - 1}{(x-2)^2}\)
\(f'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2}\)
\(f'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2}\)
✏️ 例 2 - 含平方
求导: \(f(x) = \frac{x^2}{x+3}\)
步骤 1:识别
\(u = x^2\) \(v = x + 3\)
步骤 2:求导
\(u' = 2x\) \(v' = 1\)
步骤 3:代入
\(f'(x) = \frac{2x \cdot (x+3) - x^2 \cdot 1}{(x+3)^2}\)
步骤 4:化简
\(f'(x) = \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x+3)^2}\)
\(f'(x) = \frac{x^2 + 6x}{(x+3)^2}\)
\(f'(x) = \frac{x^2 + 6x}{(x+3)^2}\)
或因式分解后:\(f'(x) = \frac{x(x + 6)}{(x+3)^2}\)
✏️ 例 3 - 二次分母
求导: \(f(x) = \frac{2x+1}{x^2-4}\)
步骤 1:识别
\(u = 2x + 1\) \(v = x^2 - 4\)
步骤 2:求导
\(u' = 2\) \(v' = 2x\)
步骤 3:代入
\(f'(x) = \frac{2 \cdot (x^2-4) - (2x+1) \cdot 2x}{(x^2-4)^2}\)
步骤 4:化简分子
\(= \frac{2x^2 - 8 - 4x^2 - 2x}{(x^2-4)^2}\)
\(= \frac{-2x^2 - 2x - 8}{(x^2-4)^2}\)
\(f'(x) = \frac{-2x^2 - 2x - 8}{(x^2-4)^2}\)
或:\(f'(x) = \frac{-2(x^2 + x + 4)}{(x^2-4)^2}\)
🔢 特殊情形:分子为常数
当 \(f(x) = \frac{k}{v(x)}\)(分子为常数)时,公式简化为:
\(\left(\frac{k}{v}\right)' = \frac{-k \cdot v'}{v^2}\)
为什么?因为 \(u = k\),所以 \(u' = 0\),于是:
\(\frac{0 \cdot v - k \cdot v'}{v^2} = \frac{-k \cdot v'}{v^2}\)
例:\(f(x) = \frac{1}{x}\)
\(k = 1\),\(v = x\),\(v' = 1\)
\(f'(x) = \frac{-1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}\)
例:\(f(x) = \frac{3}{x^2+1}\)
\(k = 3\),\(v = x^2+1\),\(v' = 2x\)
\(f'(x) = \frac{-3 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-6x}{(x^2+1)^2}\)
📊 实用导数 - 务必背诵
| 函数 \(f(x)\) | 导数 \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
| \(\frac{1}{x^2}\) | \(-\frac{2}{x^3}\) |
| \(\frac{1}{x+a}\) | \(-\frac{1}{(x+a)^2}\) |
| \(\frac{x}{x+a}\) | \(\frac{a}{(x+a)^2}\) |
| \(\frac{ax+b}{cx+d}\) | \(\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}\) |
💡 提示:常用导数最好记在心里,以节省考试时间!
💡 考试重要提示
1️⃣ 顺序很重要!
\(u'v - uv'\) ✓
\(uv' - u'v\) ✗
分子的导数始终在前!
2️⃣ 不要忘记化简!
代入后 - 展开括号
合并分子中的同类项
3️⃣ 分母要平方!
分母总是 \(v^2\)
不要展开平方(保持原样)
4️⃣ 整理工作
在旁边写出:
\(u = ...\) \(u' = ...\)
\(v = ...\) \(v' = ...\)
⚠️ 常见错误
| ❌ 错误 | ✓ 正确 |
|---|---|
| \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'}{v'}\) | \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) |
| \(\frac{uv' - u'v}{v^2}\)(顺序颠倒) | \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\) |
| \(\frac{u'v - uv'}{v}\)(漏掉平方) | \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\) |
📝 总结
\(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
"分子的导数乘以分母,减去分子乘以分母的导数,除以分母的平方"
现在您可以继续学习总结主题:有理函数研究!