等差数列
第 1 页:基础 - 数列规律与公差
🎯 你已经认识等差数列了!
你从小就认识这个数列,只是不知道它的名称:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
偶数数列!
这个数列呢?
5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
5 的乘法表!
📚 什么是等差数列?
等差数列是一个数列,其中每个数(从第二个开始)
都是在前一个数上加上一个固定的数得到的。
💡 通俗地说:
每次都跳过同样的固定数!
在这个数列中,每次都加 +4
🌍 生活中的等差数列
🚌 公交车站:
如果每个站距离上一个站 500 米:
0, 500, 1000, 1500, 2000, ...(从起点算的米数)
🪜 梯子的台阶:
如果每个台阶高 25 厘米:
25, 50, 75, 100, 125, ...(离地面的高度)
💰 每月储蓄:
如果每月储蓄 200 $:
200, 400, 600, 800, 1000, ...(累计金额)
📅 一周中的天数:
每 7 天过一周:
7, 14, 21, 28, 35, ...(天数)
📝 基本概念
项 = 数列中的每个数
项的标记:
用字母 a 来标记一项
在字母旁边写上这一项在数列中的位置(n)
\(a_1\) = 第一项
\(a_2\) = 第二项
\(a_3\) = 第三项
...
\(a_n\) = 第 n 项(通项)
例子:数列 5, 8, 11, 14, 17, ...
\(a_1 = 5\)(第一项)
\(a_2 = 8\)(第二项)
\(a_3 = 11\)(第三项)
\(a_4 = 14\)(第四项)
\(a_5 = 17\)(第五项)
📏 数列的公差 (d)
公差是每次相加的固定数。
用字母 d 表示
💡 如何找出 d?
d = 后一项 − 前一项
把任意相邻的两项相减即可!
想象一个梯子 - 台阶之间的距离总是相同的!
✏️ 例子 - 求数列的公差
例子 1:3, 8, 13, 18, ...
d = 8 − 3 = 5
(验证:13 − 8 = 5 ✓,18 − 13 = 5 ✓)
例子 2:2, 5, 8, 11, ...
d = 5 − 2 = 3
例子 3(负公差!):40, 30, 20, 10, ...
d = 30 − 40 = −10
数列在下降!d 为负数表示每次都在减少。
例子 4(负数):−21, −15, −9, −3, ...
d = (−15) − (−21) = −15 + 21 = 6
尽管数字是负数,数列仍在上升!
💰 生活例子 - 零花钱
小明每个月得到 20 $ 的零花钱。
他的父母决定每个月给他增加 5 $。
12 个月后,小明能拿到多少零花钱?
解答:
第 1 个月:20 $
第 2 个月:20 + 5 = 25 $
第 3 个月:25 + 5 = 30 $
...
这是一个等差数列!\(a_1 = 20\), d = 5
第 12 个月:\(a_{12} = 20 + 11 \times 5 = 20 + 55 = 75\) $
答案:小明在第 12 个月会得到 75 $
📝 练习题 - 完成数列
(1) 21, 31, 41, ___, ___, ___, ___
(2) 120, 115, 110, ___, ___, ___, ___
(3) 37, 41, 45, ___, ___, ___, ___
(4) 75, 78, 81, ___, ___, ___, ___
💡 答案:
(1) d = 10:21, 31, 41, 51, 61, 71, 81
(2) d = −5:120, 115, 110, 105, 100, 95, 90
(3) d = 4:37, 41, 45, 49, 53, 57, 61
(4) d = 3:75, 78, 81, 84, 87, 90, 93
📝 练习题 - 求 d 并加上第五项
(5) 3, 8, 13, 18, ___ d = ___
(6) 2, 5, 8, 11, ___ d = ___
(7) −21, −15, −9, −3, ___ d = ___
(8) 40, 30, 20, 10, ___ d = ___
💡 答案:
(5) d = 5,第五项:23
(6) d = 3,第五项:14
(7) d = 6,第五项:3
(8) d = −10,第五项:0
🔑 通项公式
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)
💡 说明:
- \(a_n\) = 我们要找的项(第 n 项)
- \(a_1\) = 第一项
- d = 数列的公差
- n = 项的位置序号
- (n−1) = 从第一项跳了多少次"跳跃"
✏️ 例子:在数列 5, 8, 11, 14, ... 中,求第 20 项
\(a_1 = 5\), d = 3, n = 20
\(a_{20} = 5 + (20-1) \times 3 = 5 + 19 \times 3 = 5 + 57 = 62\)
📝 总结
等差数列 = 每次加一个固定的数 (d)
d = 后一项 − 前一项
\(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\)