等差数列
第 2 页:数列的求和
🎯 什么是数列之和?
数列之和 = 把所有项加在一起!
简单例子:
数列:2, 5, 8, 11, 14
求和 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
💡 为什么需要公式?
如果要加 100 项呢?或者 1000 项? 😅
公式可以节省大量计算!
📝 求和的符号
求和用字母 S 表示(来自英语 Sum)
在 S 旁边写上要相加的项数:
| 符号 | 含义 | 例子(2, 5, 8, 11, 14, ...) |
|---|---|---|
| \(S_3\) | 前 3 项的和 | 2 + 5 + 8 = 15 |
| \(S_4\) | 前 4 项的和 | 2 + 5 + 8 + 11 = 26 |
| \(S_5\) | 前 5 项的和 | 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 |
| \(S_n\) | 前 n 项的和 | 通用公式 |
🔑 求和公式
\(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)
💡 公式说明:
- \(a_1\) = 第一项
- \(a_n\) = 最后一项(第 n 项)
- n = 项的数量
- \(\frac{a_1 + a_n}{2}\) = 第一项与最后一项的平均
求和 = 两端的平均 × 项的数量
🔄 替代公式:
\(S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]\)
当不知道最后一项时很有用
✏️ 基础例子
求数列 3, 7, 11, 15, 19 的前 5 项之和。
第 1 步:识别已知数据
\(a_1 = 3\)(第一项)
\(a_5 = 19\)(最后一项)
n = 5(项数)
第 2 步:代入公式
\(S_5 = \frac{(3 + 19) \cdot 5}{2} = \frac{22 \cdot 5}{2} = \frac{110}{2} = 55\)
验证:3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55 ✓
📝 练习题
练习 13:等差数列:12, 15, 18, ...
a. 求 \(a_{10}\)
b. 求数列前 10 项之和。
解答:
\(a_1 = 12\), d = 15 − 12 = 3
a. \(a_{10} = 12 + (10-1) \times 3 = 12 + 27 = 39\)
b. \(S_{10} = \frac{(12 + 39) \times 10}{2} = \frac{51 \times 10}{2} = \frac{510}{2} = 255\)
练习 14:等差数列:4, 5.5, 7, ...
a. 求数列的第 20 项。
b. 求数列前 20 项之和。
解答:
\(a_1 = 4\), d = 5.5 − 4 = 1.5
a. \(a_{20} = 4 + (20-1) \times 1.5 = 4 + 28.5 = 32.5\)
b. \(S_{20} = \frac{(4 + 32.5) \times 20}{2} = \frac{36.5 \times 20}{2} = \frac{730}{2} = 365\)
练习 15:一个等差数列共有 7 项。数列各项之和:147。第一项为 6。
a. 求数列的公差。
b. 求最后一项。
解答:
\(a_1 = 6\), n = 7, \(S_7 = 147\)
a. 使用公式: \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\)
\(147 = \frac{7}{2}[2 \times 6 + 6d]\)
\(147 = \frac{7}{2}[12 + 6d]\)
\(294 = 7(12 + 6d)\)
\(42 = 12 + 6d\)
\(6d = 30\)
\(d = 5\)
b. \(a_7 = 6 + 6 \times 5 = 6 + 30 = 36\)
练习 16:等差数列:207, 200, 193, 186, ... 求前 12 项之和。
解答:
\(a_1 = 207\), d = 200 − 207 = −7
\(a_{12} = 207 + 11 \times (-7) = 207 - 77 = 130\)
\(S_{12} = \frac{(207 + 130) \times 12}{2} = \frac{337 \times 12}{2} = \frac{4044}{2} = 2022\)
练习 17:一个等差数列共有 8 项。数列各项之和为 168。第一项为 7。
a. 求数列的公差。
b. 求第六项。
解答:
\(a_1 = 7\), n = 8, \(S_8 = 168\)
a. \(168 = \frac{8}{2}[2 \times 7 + 7d]\)
\(168 = 4[14 + 7d]\)
\(42 = 14 + 7d\)
\(7d = 28\)
\(d = 4\)
b. \(a_6 = 7 + 5 \times 4 = 7 + 20 = 27\)
练习 18:在一个等差数列中,第三项是 6,第五项是 10。
a. 求数列的公差。
b. 求数列的第一项。
c. 数列共有 21 项,求数列各项之和。
解答:
\(a_3 = 6\), \(a_5 = 10\)
a. 从第 3 项到第 5 项有 2 次跳跃:
\(2d = 10 - 6 = 4\)
\(d = 2\)
b. \(a_3 = a_1 + 2d\)
\(6 = a_1 + 2 \times 2\)
\(a_1 = 6 - 4 = 2\)
c. \(a_{21} = 2 + 20 \times 2 = 2 + 40 = 42\)
\(S_{21} = \frac{(2 + 42) \times 21}{2} = \frac{44 \times 21}{2} = \frac{924}{2} = 462\)
🌍 应用题
练习 19:小华决定为去泰国的航班存钱。第一个月他存了 100 $,之后每个月比上一个月多存 10 $。
a. 小华在第 12 个月存了多少钱?
b. 小华在这 12 个月里一共存了多少钱?
解答:
这是一个等差数列:100, 110, 120, ...
\(a_1 = 100\), d = 10
a. \(a_{12} = 100 + 11 \times 10 = 100 + 110 = 210\) $
b. \(S_{12} = \frac{(100 + 210) \times 12}{2} = \frac{310 \times 12}{2} = \frac{3720}{2} = 1860\) $
练习 20:一架有 16 个台阶的梯子,每个台阶都比下面的台阶短 4 厘米。
梯子所有台阶的总长度是 8 米 64 厘米。
计算梯子最底下台阶的长度。
解答:
n = 16, d = −4(台阶越往上越短)
\(S_{16} = 864\) 厘米(8 米 64 厘米)
设最底下台阶(第一项):\(a_1 = ?\)
\(S_{16} = \frac{16}{2}[2a_1 + 15 \times (-4)]\)
\(864 = 8[2a_1 - 60]\)
\(108 = 2a_1 - 60\)
\(2a_1 = 168\)
\(a_1 = 84\) 厘米
答案:最底下台阶的长度为 84 厘米
📋 公式总结
| 公式 | 用途 |
|---|---|
| \(a_n = a_1 + (n-1)d\) | 求通项 |
| \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\) | 已知最后一项时的求和 |
| \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]\) | 已知 d 时的求和 |
📝 总结
\(S_n\) = 前 n 项之和
\(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)
求和 = 两端的平均 × 项的数量