等差数列
从求和公式求通项
🎯 何时使用这种方法?
有时会给出求和公式 \(S_n\),并要求我们求:
- 通项 \(a_n\)
- 是否是等差数列
- 公差 d
💡 核心思路
如果 \(S_n\) = 前 n 项之和
而 \(S_{n-1}\) = 前 (n-1) 项之和
那么它们之间的差正好是第 n 项!
📐 公式
\(a_n = S_n - S_{n-1}\)
(当 \(n \geq 2\))
⚠️ 必须验证!
需要验证所得公式对 \(a_1\) 也成立:
\(a_1 = S_1\)
如果通项公式给出与 \(S_1\) 相同的结果,那么它对所有 n 都成立。
✏️ 例子 1
已知: \(S_n = 3n^2 + 2n\)
a. 求通项 \(a_n\)
b. 验证是否为等差数列
c. 如果是,求 \(a_1\) 和 d
解答:
a. 求 \(a_n\):
\(S_n = 3n^2 + 2n\)
\(S_{n-1} = 3(n-1)^2 + 2(n-1)\)
\(= 3(n^2 - 2n + 1) + 2n - 2\)
\(= 3n^2 - 6n + 3 + 2n - 2\)
\(= 3n^2 - 4n + 1\)
\(a_n = S_n - S_{n-1}\)
\(= (3n^2 + 2n) - (3n^2 - 4n + 1)\)
\(= 3n^2 + 2n - 3n^2 + 4n - 1\)
\(a_n = 6n - 1\)
验证 \(a_1\):
根据通项公式: \(a_1 = 6 \times 1 - 1 = 5\)
根据 \(S_1\): \(S_1 = 3 \times 1 + 2 \times 1 = 5\) ✓
公式对所有 n 都成立!
b. 是否是等差数列?
通项公式为 \(a_n = 6n - 1\)(n 的线性函数)
是的!这是一个等差数列(因为通项是线性函数)
c. 求 \(a_1\) 和 d:
\(a_1 = 6 \times 1 - 1 = 5\)
\(a_2 = 6 \times 2 - 1 = 11\)
\(d = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6\)
数列:5, 11, 17, 23, 29, ...
✏️ 例子 2
已知: \(S_n = n^2 + 5n\)
求数列的前 5 项。
解答:
方法 1:直接从 \(S_n\) 计算
\(S_1 = 1 + 5 = 6\) → \(a_1 = 6\)
\(S_2 = 4 + 10 = 14\) → \(a_2 = S_2 - S_1 = 14 - 6 = 8\)
\(S_3 = 9 + 15 = 24\) → \(a_3 = S_3 - S_2 = 24 - 14 = 10\)
\(S_4 = 16 + 20 = 36\) → \(a_4 = S_4 - S_3 = 36 - 24 = 12\)
\(S_5 = 25 + 25 = 50\) → \(a_5 = S_5 - S_4 = 50 - 36 = 14\)
数列:6, 8, 10, 12, 14, ...
这是一个等差数列,\(a_1 = 6\) 和 \(d = 2\)
方法 2:通用公式
\(a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 5n) - [(n-1)^2 + 5(n-1)]\)
\(= n^2 + 5n - (n^2 - 2n + 1 + 5n - 5)\)
\(= n^2 + 5n - n^2 + 2n - 1 - 5n + 5\)
\(= 2n + 4\)
验证:\(a_1 = 2(1) + 4 = 6\) ✓
✏️ 例子 3 - 如果不是等差数列会怎样?
已知: \(S_n = 2^n - 1\)
这是等差数列吗?
解答:
计算几项:
\(S_1 = 2^1 - 1 = 1\) → \(a_1 = 1\)
\(S_2 = 2^2 - 1 = 3\) → \(a_2 = 3 - 1 = 2\)
\(S_3 = 2^3 - 1 = 7\) → \(a_3 = 7 - 3 = 4\)
\(S_4 = 2^4 - 1 = 15\) → \(a_4 = 15 - 7 = 8\)
数列:1, 2, 4, 8, ...
差值:2-1=1, 4-2=2, 8-4=4
这不是等差数列!(差值不固定)
这是公比 q=2 的等比数列
💡 从求和公式识别等差数列的规则
如果 \(S_n\) 是二次多项式(如 \(an^2 + bn + c\))
那么数列是等差数列
通项将是一次多项式(线性的)
| \(S_n\) | 数列类型 |
|---|---|
| \(an^2 + bn + c\) | 等差数列 |
| 其他形式(指数、三次……) | 非等差数列 |
📝 练习题
1. 已知 \(S_n = 2n^2 + 3n\)。求 \(a_n\)。
2. 已知 \(S_n = n^2 - n\)。求 \(a_1\)、\(a_5\) 和 d。
3. 已知 \(S_n = 4n^2 - n\)。这是等差数列吗?如果是,求公差。
💡 答案:
1. \(a_n = 4n + 1\)
2. \(a_n = 2n - 2\),所以 \(a_1 = 0\)、\(a_5 = 8\)、\(d = 2\)
3. 是!\(a_n = 8n - 5\),所以 \(d = 8\)
📝 总结
\(a_n = S_n - S_{n-1}\)(当 \(n \geq 2\))
始终验证:\(a_1 = S_1\)
如果 \(S_n\) 是二次多项式 → 等差数列