等差数列
末项之和
🎯 问题是什么?
公式 \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\) 计算前 n 项之和。
但如果想计算不是从 \(a_1\) 开始的和呢?
❌ 没有直接计算末项之和的公式!
但有两种很棒的方法可以解决 👇
📌 引导例子
已知一个等差数列,有 19 项,公差为 d。
求: \(a_{12} + a_{13} + a_{14} + ... + a_{19}\)
即:最后 8 项之和(从第 12 项到第 19 项)
✅ 方法一:相减求和
思路:从 \(S_{19}\) 减去 \(S_{11}\),就得到从 \(a_{12}\) 到 \(a_{19}\) 的和。
\(a_{12} + a_{13} + ... + a_{19} = S_{19} - S_{11}\)
📐 通用公式:
\(a_k + a_{k+1} + ... + a_n = S_n - S_{k-1}\)
从第 k 项到第 n 项的和 = \(S_n\) 减去 \(S_{k-1}\)
✅ 方法二:直接计算(新数列)
思路:将末项视为一个新的等差数列!
在我们的例子中:
和 \(a_{12} + a_{13} + ... + a_{19}\) 是一个等差数列的和:
- 项数:8 项(从 12 到 19)
- 新数列的首项: \(a_{12}\)
- 新数列的末项: \(a_{19}\)
- 公差:与原数列相同的 d
📐 公式:
\(a_{12} + ... + a_{19} = \frac{(a_{12} + a_{19}) \cdot 8}{2}\)
✏️ 完整数值例子
已知:等差数列:3, 7, 11, 15, ...
求:从 \(a_5\) 到 \(a_{10}\) 的和
数据: \(a_1 = 3\), \(d = 4\)
方法一 - 相减求和:
计算 \(S_{10}\):
\(a_{10} = 3 + 9 \times 4 = 39\)
\(S_{10} = \frac{(3 + 39) \times 10}{2} = \frac{420}{2} = 210\)
计算 \(S_4\):
\(a_4 = 3 + 3 \times 4 = 15\)
\(S_4 = \frac{(3 + 15) \times 4}{2} = \frac{72}{2} = 36\)
从 \(a_5\) 到 \(a_{10}\) 的和: \(S_{10} - S_4 = 210 - 36 = 174\)
方法二 - 直接计算:
从 5 到 10 的项数:\(10 - 5 + 1 = 6\) 项
\(a_5 = 3 + 4 \times 4 = 19\)
\(a_{10} = 39\)(已经算过)
和: \(\frac{(19 + 39) \times 6}{2} = \frac{58 \times 6}{2} = \frac{348}{2} = 174\) ✓
⚖️ 何时使用每种方法?
| 方法一(相减) | 方法二(直接) | |
|---|---|---|
| 公式 | \(S_n - S_{k-1}\) | \(\frac{(a_k + a_n) \cdot m}{2}\) |
| 优点 | 如果已有 \(S_n\) 很简单 | 更直接 |
| 特别适合于 | 有 \(S_n\) 公式时 | 已知端点项时 |
📝 练习题
1. 在数列 5, 8, 11, 14, ... 中,求从 \(a_6\) 到 \(a_{12}\) 的和。
2. 在等差数列中 \(a_1 = 10\), \(d = -2\)。求 \(a_8 + a_9 + ... + a_{15}\)。
3. 已知 \(S_{20} = 400\) 和 \(S_{15} = 240\)。求最后 5 项之和。
💡 答案:
1. \(a_6 = 20\), \(a_{12} = 38\), 7 项。和 = \(\frac{(20+38) \times 7}{2} = 203\)
2. \(a_8 = -4\), \(a_{15} = -18\), 8 项。和 = \(\frac{(-4-18) \times 8}{2} = -88\)
3. \(a_{16} + ... + a_{20} = S_{20} - S_{15} = 400 - 240 = 160\)
📝 总结
方法一:\(a_k + ... + a_n = S_n - S_{k-1}\)
方法二:新数列,m = n - k + 1 项