等差数列
偶数 / 奇数位置项之和
🎯 什么是偶数/奇数位置项之和?
已知一个数列:
奇数位(1, 3, 5, 7, ...)
\(a_1, a_3, a_5, a_7, ...\)
偶数位(2, 4, 6, 8, ...)
\(a_2, a_4, a_6, a_8, ...\)
💡 重要观察 - 这些也是等差数列!
已知一个等差数列: \(a_1 = 5\), \(d = 3\)
数列:5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, ...
奇数位上的项:
\(a_1 = 5, \quad a_3 = 11, \quad a_5 = 17, \quad a_7 = 23, \quad a_9 = 29, ...\)
这是公差为 2d = 6 的等差数列
偶数位上的项:
\(a_2 = 8, \quad a_4 = 14, \quad a_6 = 20, \quad a_8 = 26, \quad a_{10} = 32, ...\)
这是公差为 2d = 6 的等差数列
🔢 情况 1:数列项数为偶数
如果数列有 n 个项,且 n 为偶数(例如 n = 10):
- \(\frac{n}{2}\) 个项在奇数位
- \(\frac{n}{2}\) 个项在偶数位
✏️ 例子:有 10 项的等差数列,\(a_1 = 2\), \(d = 3\)
数列:2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29
奇数位项的子数列:
\(a_1, a_3, a_5, a_7, a_9\) = 2, 8, 14, 20, 26
- 首项: \(a_1 = 2\)
- 公差: \(2d = 6\)
- 项数: \(\frac{10}{2} = 5\)
求和: \(S = \frac{(2 + 26) \times 5}{2} = \frac{140}{2} = 70\)
偶数位项的子数列:
\(a_2, a_4, a_6, a_8, a_{10}\) = 5, 11, 17, 23, 29
- 首项: \(a_2 = 5\)
- 公差: \(2d = 6\)
- 项数: \(\frac{10}{2} = 5\)
求和: \(S = \frac{(5 + 29) \times 5}{2} = \frac{170}{2} = 85\)
验证:70 + 85 = 155 = 整个数列之和 ✓
🔢 情况 2:数列项数为奇数
如果数列有 n 个项,且 n 为奇数(例如 n = 9):
- \(\frac{n+1}{2}\) 个项在奇数位(更多!)
- \(\frac{n-1}{2}\) 个项在偶数位
✏️ 例子:有 9 项的等差数列,\(a_1 = 2\), \(d = 3\)
数列:2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26
奇数位项的子数列:
\(a_1, a_3, a_5, a_7, a_9\) = 2, 8, 14, 20, 26
项数: \(\frac{9+1}{2} = 5\)
求和: \(\frac{(2 + 26) \times 5}{2} = 70\)
偶数位项的子数列:
\(a_2, a_4, a_6, a_8\) = 5, 11, 17, 23
项数: \(\frac{9-1}{2} = 4\)
求和: \(\frac{(5 + 23) \times 4}{2} = 56\)
验证:70 + 56 = 126 = 整个数列之和 ✓
📋 总结表
| 奇数位 | 偶数位 | |
|---|---|---|
| 首项 | \(a_1\) | \(a_2\) |
| 公差 | \(2d\) | \(2d\) |
| 项数(n 为偶数) | \(\frac{n}{2}\) | \(\frac{n}{2}\) |
| 项数(n 为奇数) | \(\frac{n+1}{2}\) | \(\frac{n-1}{2}\) |
✏️ 高级例子
已知:有 20 项的等差数列。\(a_1 = 4\), \(d = 5\)
求偶数位项之和。
解答:
步骤 1:识别新数列
偶数位项: \(a_2, a_4, a_6, ..., a_{20}\)
步骤 2:求数据
首项: \(a_2 = 4 + 5 = 9\)
末项: \(a_{20} = 4 + 19 \times 5 = 99\)
公差: \(2d = 10\)
项数: \(\frac{20}{2} = 10\)
步骤 3:计算求和
\(S = \frac{(9 + 99) \times 10}{2} = \frac{1080}{2} = 540\)
📝 练习题
1. 有 12 项的等差数列,\(a_1 = 3\), \(d = 4\)。求奇数位项之和。
2. 有 15 项的等差数列,\(a_1 = 10\), \(d = -2\)。求偶数位项之和。
3. 在一个等差数列中,18 项的总和为 270。偶数位项之和为 153。求 \(d\)。
💡 答案:
1. 奇数位:6 项, \(a_1=3\), \(a_{11}=43\)。和 = \(\frac{(3+43) \times 6}{2} = 138\)
2. 偶数位:7 项, \(a_2=8\), \(a_{14}=-16\)。和 = \(\frac{(8-16) \times 7}{2} = -28\)
3. 奇数位之和 = 270 - 153 = 117。差: 153 - 117 = 36 = \(9d\) → \(d = 4\)
📝 总结
偶数/奇数位上的项形成新的等差数列
新数列的公差: 2d
n 偶数:项数相等 | n 奇数:奇数位更多