我们知道:

\(3^2 = 9\)

即:3 的 2 次方等于 9。

反方向是什么?

我们想根据幂的结果(9)和指数(2)得到底数(3)。

\(\sqrt{9} = 3\)

数字 3 是 9 的平方根

n 次方根表示为:

\(\sqrt[n]{b}\)

n 称为根指数

💡 定义:

当我们想计算 \(\sqrt[n]{b}\) 时,我们寻找一个数,使它的 n 次方等于 b。

例子:

规则 1:开方先于加法、减法、乘法和除法

例子:

\(2 + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5\)

规则 2:括号内的运算先于开方

例子:

\(\sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4\)

规则 3:同一表达式中含乘方和开方时 - 从左到右

例子:

\(\sqrt{4}^3 = 2^3 = 8\)(先开方,然后乘方)

偶次根(2, 4, 6, ...)

奇次根(3, 5, 7, ...)

法则 1:积的根 = 根的积

\(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\)

例子:

\(\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6\)

\(\sqrt{36} = \sqrt{4 \cdot 9} = 2 \cdot 3 = 6\)

法则 2:商的根 = 根的商

\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)

(当 b > 0)

例子:

\(\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}\)

法则 3:根式作为幂

\(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)

例子:

\(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\)

\(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\)

\(\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}\)

法则 4:幂的根

\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)

例子:

\(\sqrt{a^4} = a^{\frac{4}{2}} = a^2\)

\(\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2\)

法则 5:根的根

\(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\)

例子:

\(\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[4]{16} = 2\)

\(\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = 2\)

将系数移入根号:

\(a \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}\)

例子:

\(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)

\(2\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{8 \cdot 7} = \sqrt[3]{56}\)

化简根式(从根号中提取因数):

将根号下的数分解为完全平方数与其他因数的乘积

例子:

\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)

\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)

\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)

思路:分子分母同时乘以分母中的根式

\(\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}\)

例子:

\(\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)

\(\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)

\(\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\)