统计学
第 5 页:集中趋势量度 - 第一部分(均值)
📊 什么是集中趋势量度?
集中趋势量度是用来描述一组数据的"中心"或"中间"位置的数值。
三种主要的集中趋势量度:
📊
均值
📍
中位数
🏆
众数
📊 算术平均 - 原始数据
均值=所有数据之和除以数据个数
\(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}\)
✏️ 例子 1:
5 名学生的分数:70、85、90、75、80
\(\bar{x} = \frac{70 + 85 + 90 + 75 + 80}{5} = \frac{400}{5} = 80\)
均值:80
💡 符号:
- \(\bar{x}\)(x 上加横线)= 样本均值
- \(\mu\)(μ - mu)= 总体均值
⚖️ 加权平均 - 从频数表
当数据为频数表形式时,使用加权平均:
\(\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{n}\)
✏️ 例子 2:30 名学生的兄弟姐妹数
| 兄弟姐妹数 (x) | 频数 (f) | x · f |
|---|---|---|
| 0 | 3 | 0 × 3 = 0 |
| 1 | 12 | 1 × 12 = 12 |
| 2 | 10 | 2 × 10 = 20 |
| 3 | 4 | 3 × 4 = 12 |
| 4 | 1 | 4 × 1 = 4 |
| 合计 | n = 30 | Σ(xf) = 48 |
\(\bar{x} = \frac{48}{30} = 1.6\)
均值:1.6 个兄弟姐妹
📊 分组数据的均值(连续)
当数据分组时,使用组中值(\(x_i\))作为代表:
\(\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{n}\)
其中 \(x_i\) = 组中值
✏️ 例子 3:40 名学生的分数
| 组 | 组中值 (xᵢ) | 频数 (fᵢ) | xᵢ · fᵢ |
|---|---|---|---|
| 50-59 | 54.5 | 4 | 218 |
| 60-69 | 64.5 | 8 | 516 |
| 70-79 | 74.5 | 12 | 894 |
| 80-89 | 84.5 | 10 | 845 |
| 90-99 | 94.5 | 6 | 567 |
| 合计 | n = 40 | 3040 | |
\(\bar{x} = \frac{3040}{40} = 76\)
均值:76
⚠️ 注意:
这是近似均值 - 我们不知道每组中的具体值,所以使用组中值作为代表。
📋 均值的性质
| 性质 | 说明 | 例子 |
|---|---|---|
| 加常数 | 每个数据加 k → 均值增加 k | \(\bar{x} = 80\),加 5 → \(\bar{x}_{new} = 85\) |
| 乘以常数 | 每个数据乘以 k → 均值乘以 k | \(\bar{x} = 80\),乘以 2 → \(\bar{x}_{new} = 160\) |
| 偏差之和 | 数据与均值之差的总和 = 0 | \(\sum (x_i - \bar{x}) = 0\) |
| 对极端值敏感 | 极端值会影响均值 | 10、10、10、100 → 均值 = 32.5 |
⚖️ 一般加权平均
✏️ 例子 4:计算最终分数
考试(60%):85,作业(25%):90,出勤(15%):100
\(\bar{x} = \frac{85 \times 60 + 90 \times 25 + 100 \times 15}{60 + 25 + 15}\)
\(\bar{x} = \frac{5100 + 2250 + 1500}{100} = \frac{8850}{100} = 88.5\)
最终分数:88.5
✏️ 例子 5:两个班级的均值
第一班:25 名学生,均值 78
第二班:30 名学生,均值 82
整体均值是多少?
\(\bar{x} = \frac{25 \times 78 + 30 \times 82}{25 + 30} = \frac{1950 + 2460}{55} = \frac{4410}{55} = 80.18\)
整体均值:80.18
注意:不是 (78+82)/2 = 80,因为两个班级人数不同!
💡 考试技巧
原始数据: \(\frac{\sum x}{n}\)
频数表: \(\frac{\sum xf}{n}\)
分组数据:使用组中值
📝 第 5 页总结
\(\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot f_i}{n}\)
分组数据中:\(x_i\) = 组中值