统计学:标准分(Z 分数)与 Z 表

📐 标准分(Z 分数)与 Z 表

🔄 什么是标准分?

标准分(Z)告诉我们某个数值距平均数有多少个标准差。

它使我们能够把任意正态分布转换为 μ=0 且 σ=1 的标准正态分布。

标准分公式:

Z = (X − μ) / σ

示例:考试成绩服从正态分布,μ=70,σ=10。
一名得了 85 分的学生,其标准分是多少?

Z = (85 − 70) / 10 = 15/10 = 1.5

解释:成绩 85 位于平均数之上 1.5 个标准差处。

📋 Z 表的查阅

Z 表给出给定 Z 值左侧的面积(概率)。
也就是说:P(Z ≤ z) — 变量 Z 小于或等于 z 的概率。

如何查阅这张表?

步骤 1:根据 Z 的个位数与十分位数查找所在的行(例如 1.5)

步骤 2:根据百分位数查找所在的列(例如 0.00)

步骤 3:表中的数值就是 P(Z ≤ z)

示例:求 P(Z ≤ 1.50)

在表中:行 1.5,列 0.00 → Φ(1.50) = 0.9332

也就是说:93.32% 的数值位于 Z=1.5 之下

🧮 常见的概率计算

计算类型	公式	示例
P(Z ≤ z)	从表中直接查阅	P(Z ≤ 1.5) = 0.9332
P(Z ≥ z)	1 − Φ(z)	P(Z ≥ 1.5) = 1 − 0.9332 = 0.0668
P(Z ≤ −z)	1 − Φ(z)(对称性)	P(Z ≤ −1.5) = 0.0668
P(a ≤ Z ≤ b)	Φ(b) − Φ(a)	P(0 ≤ Z ≤ 1.5) = 0.9332 − 0.5 = 0.4332

⚠️ 重要提示:

这张表给出的总是左侧的面积
利用对称性:P(Z ≤ −z) = P(Z ≥ z)
计算之前一定要画出曲线!
Φ(0) = 0.5(0 左侧面积的一半)

🔄 从原始分到概率 — 完整流程

步骤 1:转换为标准分:Z = (X − μ) / σ

步骤 2:画出曲线并标出所求的面积

步骤 3:从表中查阅并计算概率

完整示例:
婴儿体重 ~ N(3200, 400²) 克。一个婴儿体重超过 3600 克的概率是多少?

步骤 1: Z = (3600 − 3200) / 400 = 400/400 = 1

步骤 2:求 P(X > 3600) = P(Z > 1)

步骤 3: P(Z > 1) = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案:约 15.87% 的婴儿体重会超过 3600 克。